Mostre que:
Para cada
se e somente se
.
Para cada
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. O exercício trata de produtos cartesianos e uniões de conjuntos, que são conceitos da teoria dos conjuntos na matemática. Precisamos mostrar que, para qualquer elemento
, o par
pertence ao produto cartesiano
se e somente se
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um produto cartesiano. O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo elemento vem de
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos entender a união de conjuntos
. A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Portanto,
Passo 4
Vamos partir da afirmação
. Pelo que vimos no Passo 2, isso implica que:
Como
já está garantido, a condição principal é que
.
Passo 5
Agora, vamos pensar na direção contrária. Se sabemos que
, então, para qualquer
, o par
necessariamente pertence ao produto cartesiano
, já que:
Resposta
Portanto, mostramos que para cada
, temos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide
, em termos de
.
Mostre que:
Demonstraremos apenas uma das inclusões: .
Demonstraremos apenas uma das inclusões:
Faça o que se pede: Mostre que, se
, então a trocoide não tem reta tangente vertical.
Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas
.