Mostre que:
Para cada se e somente se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. O exercício trata de produtos cartesianos e uniões de conjuntos, que são conceitos da teoria dos conjuntos na matemática. Precisamos mostrar que, para qualquer elemento , o par pertence ao produto cartesiano se e somente se .

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um produto cartesiano. O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de e o segundo elemento vem de . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos entender a união de conjuntos . A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Portanto,

Passo 4

Vamos partir da afirmação . Pelo que vimos no Passo 2, isso implica que:
Como já está garantido, a condição principal é que .

Passo 5

Agora, vamos pensar na direção contrária. Se sabemos que , então, para qualquer , o par necessariamente pertence ao produto cartesiano , já que:

Resposta

Portanto, mostramos que para cada , temos que se e somente se .

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Mostre que:
Demonstraremos apenas uma das inclusões: .
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Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas .