Faça o que se pede: Mostre que, se
, então a trocoide não tem reta tangente vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que pede para mostrar que, se
, então a trocoide não tem reta tangente vertical. Vamos resolver isso juntos. Primeiro, vamos entender o que é uma trocoide, qual o conteúdo da matéria envolvida (geometria analítica e cálculo diferencial) e o que vamos precisar para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma trocoide. A trocoide é a curva traçada por um ponto fixo de uma roda de raio
que rola sem escorregar sobre uma reta. Se o ponto estiver a uma distância
do centro da roda, temos diferentes tipos de trocoides:
- Cycloide: quando
. - Trocoide Curtate: quando
. - Trocoide Prolata: quando
.
Neste exercício, estamos lidando com a trocoide curtate, pois
.
Passo 3
Para determinar se a trocoide tem uma reta tangente vertical, precisamos analisar as derivadas da função que representa a trocoide. Basicamente, uma reta tangente vertical ocorre quando a derivada
é igual a zero (pois a inclinação seria infinita).
Vamos usar os parâmetros paramétricos da trocoide:
Aqui,
é o ângulo que a roda gira.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas
e
:
Para encontrar uma reta tangente vertical, precisamos que
.
Passo 5
Vamos igualar
a zero e resolver para
:
Aqui, percebemos que para
ser igual a
, o valor de
precisa estar no intervalo válido de
, que é de -1 a 1.
Passo 6
Analisando a equação
:
- Se
, não existe solução real para , pois não pode ser maior que 1. - Se
, existem soluções reais.
Dado que
, temos
. Portanto, não existe nenhum valor real de
que satisfaça a equação.
Resposta
Assim, mostramos que quando
, a equação
não tem solução real, o que significa que a trocoide não possui reta tangente vertical nesse caso.
Exercícios relacionados
Mostre que:
Para cada se e somente se
.
Para cada
Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide
, em termos de
.
Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas
.
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se