Faça o que se pede: Mostre que, se , então a trocoide não tem reta tangente vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que pede para mostrar que, se , então a trocoide não tem reta tangente vertical. Vamos resolver isso juntos. Primeiro, vamos entender o que é uma trocoide, qual o conteúdo da matéria envolvida (geometria analítica e cálculo diferencial) e o que vamos precisar para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma trocoide. A trocoide é a curva traçada por um ponto fixo de uma roda de raio que rola sem escorregar sobre uma reta. Se o ponto estiver a uma distância do centro da roda, temos diferentes tipos de trocoides:
  • Cycloide: quando .
  • Trocoide Curtate: quando .
  • Trocoide Prolata: quando .
Neste exercício, estamos lidando com a trocoide curtate, pois .

Passo 3

Para determinar se a trocoide tem uma reta tangente vertical, precisamos analisar as derivadas da função que representa a trocoide. Basicamente, uma reta tangente vertical ocorre quando a derivada é igual a zero (pois a inclinação seria infinita).
Vamos usar os parâmetros paramétricos da trocoide:
Aqui, é o ângulo que a roda gira.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas e :
Para encontrar uma reta tangente vertical, precisamos que .

Passo 5

Vamos igualar a zero e resolver para :
Aqui, percebemos que para ser igual a , o valor de precisa estar no intervalo válido de , que é de -1 a 1.

Passo 6

Analisando a equação :
  • Se , não existe solução real para , pois não pode ser maior que 1.
  • Se , existem soluções reais.
Dado que , temos . Portanto, não existe nenhum valor real de que satisfaça a equação.

Resposta

Assim, mostramos que quando , a equação não tem solução real, o que significa que a trocoide não possui reta tangente vertical nesse caso.

Exercícios relacionados

Mostre que:
Para cada se e somente se .
Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide , em termos de .
Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas .
Prove as seguintes afirmações
Se então ou , logo .