Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Isso envolve conceitos de limites na matemática, especificamente quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que nos leva a usar a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Passo 3
Vamos derivar o numerador
. Sabemos que a derivada de
é
, onde
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
. Sabemos que a derivada de
é
, onde
e
. Então:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, nosso limite original se transforma no limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão obtida:
Então,
Substituindo na expressão:
Resposta
O limite é
.
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Encontre a área da superfície
.
(a) é o cone de altura
e raio da base
;
(a)
Encontre a área da superfície
.
(d) é a calota da esfera
determinada pelo cone
;
(d)