lim x 1 tg(2-2 x)sen(3 x-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve conceitos de limites na matemática, especificamente quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que nos leva a usar a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando 2 - 2x quando x 1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0 se aproxima de 1:
3x - 3 quando x 1 Rightarrow 3(1) - 3 = 0
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 3

Vamos derivar o numerador ddx tg(2-2x) = sec^2(2-2x) cdot (-2) = -2,sec^2(2-2x) . Sabemos que a derivada de é , onde e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador ddx sen(3x-3) = cos(3x-3) cdot 3 = 3,cos(3x-3) . Sabemos que a derivada de é , onde e . Então:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, nosso limite original se transforma no limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador:
limx 1 -2,sec^2(2-2x)3,cos(3x-3)

Passo 6

Agora, vamos substituir 2 - 2(1) = 0 e 3(1) - 3 = 0 na expressão obtida:
sec^2(0) = 1cos^2(0) = 11 = 1
Então,
cos(0) = 1
-2 cdot 13 cdot 1 = -23
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados