Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve conceitos de limites na matemática, especificamente quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que nos leva a usar a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 1:
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 3

Vamos derivar o numerador . Sabemos que a derivada de é , onde e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador . Sabemos que a derivada de é , onde e . Então:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, nosso limite original se transforma no limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador:

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão obtida:
Então,
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

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Encontre a área da superfície .
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