Encontre o centro de massa da região com densidade .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa da região definida pela equação , que é basicamente um círculo de raio 1. A densidade da região é dada por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade é dado pelas fórmulas:
Onde é a região do círculo .

Passo 3

Observamos que a região e a densidade são simétricas em relação aos eixos e . Isso significa que, por simetria, as coordenadas e serão iguais a zero. Mas vamos confirmar isso com os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o denominador, que é a massa total :
Em coordenadas polares, onde e , e , a integral fica:
Integrando em :
Agora, integrando em :

Passo 5

Agora, vamos calcular para encontrar :
Em coordenadas polares:
Calculando a integral em :
Então:
Por simetria, a integral em também será zero:

Resposta

Portanto, o centro de massa da região é .

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