Encontre o centro de massa da região com densidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa da região definida pela equação , que é basicamente um círculo de raio 1. A densidade da região é dada por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade é dado pelas fórmulas:
Onde é a região do círculo .
Passo 3
Observamos que a região e a densidade são simétricas em relação aos eixos e . Isso significa que, por simetria, as coordenadas e serão iguais a zero. Mas vamos confirmar isso com os cálculos.
Passo 4
Vamos calcular o denominador, que é a massa total :
Em coordenadas polares, onde e , e , a integral fica: