Encontre a área da superfície de revolução da curva 6xy = x^4 + 3 para 1 <= x <= 3 em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da superfície gerada ao girar a curva em torno do eixo , no intervalo de de 1 a 3. Para isso, vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução, que envolve cálculo e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para , assim conseguimos expressar em função de . Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá a função que vamos usar na fórmula.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, e são os limites de integração.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função é:
Derivando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Vamos expandir o quadrado:
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Perceba que:
Então:
Portanto:

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da área:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Avaliada de 1 a 3:

Passo 9

Finalmente, multiplicando pelo :
á

Resposta

A área da superfície de revolução é aproximadamente unidades de área.

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(h) f(x) = (e^x - 1) / (e^x + 1)