Encontre a área da superfície de revolução da curva para em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da superfície gerada ao girar a curva em torno do eixo , no intervalo de de 1 a 3. Para isso, vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução, que envolve cálculo e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para , assim conseguimos expressar em função de . Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá a função que vamos usar na fórmula.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar da fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, e são os limites de integração.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função é:
Derivando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Vamos expandir o quadrado:
Então:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Perceba que:
Então:
Portanto:
Passo 7
Substituindo tudo na fórmula da área:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Avaliada de 1 a 3:
Passo 9
Finalmente, multiplicando pelo :
á
Resposta
A área da superfície de revolução é aproximadamente unidades de área.