Sejam
dois reais dados. Prove que
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, se
são números reais, então
Isso está relacionado ao cálculo, mais especificamente ao Teorema do Valor Médio, que envolve derivadas. Para resolver, vamos usar conceitos básicos de derivadas e propriedades da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que
Nesse caso, nossa função é
, que é contínua e diferenciável em todos os reais.
Passo 3
Calculando a derivada de
, temos
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um
em
tal que
Passo 4
Sabemos que
. Como a função
é estritamente crescente, temos que
Portanto,
Resposta
Assim, provamos que
Exercícios relacionados
Encontre a área da superfície de revolução da curva
para
em torno do eixo
.
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por
e
, com
em torno do eixo
.
Calcule
:
(h)
(h)
Calcule
:
®
®