Sejam a < b dois reais dados. Prove que
(e^b - e^a) / (b - a) < e^b

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, se são números reais, então
Isso está relacionado ao cálculo, mais especificamente ao Teorema do Valor Médio, que envolve derivadas. Para resolver, vamos usar conceitos básicos de derivadas e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que
Nesse caso, nossa função é , que é contínua e diferenciável em todos os reais.

Passo 3

Calculando a derivada de , temos
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um em tal que

Passo 4

Sabemos que . Como a função é estritamente crescente, temos que
Portanto,

Resposta

Assim, provamos que

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Encontre a área da superfície de revolução da curva 6xy = x^4 + 3 para 1 <= x <= 3 em torno do eixo y.
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por y^2(2a - x) = x^3, x = a e y = 0, com a > 0 em torno do eixo x.
Calcule f'(x) :
(h) f(x) = (e^x - 1) / (e^x + 1)
Calcule f'(x) :
® f(x) = e^(-x) sen(x)