Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(a) Encontre a área do parabolóide delimitado pelos plano
Thomas 12ed exer 16.5.37
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície definida pelo parabolóide que está limitada pelo plano . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas de superfícies usando integração, então vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para deixar em função de e :
Isso nos mostra que depende de e , o que facilita a parametrização da superfície.

Passo 3

A próxima coisa é entender que queremos calcular a área dessa superfície até . Como , isso significa que . Essa equação representa um círculo no plano com raio .

Passo 4

Para calcular a área da superfície sobre a região , vamos usar a fórmula da área de uma superfície parametrizada:
Aqui, é a região no plano onde .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Agora substituímos na fórmula da área:

Passo 6

Como a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
O elemento de área vira , e a expressão dentro da raiz fica:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em primeiro.

Passo 8

Para resolver , fazemos uma substituição:
Quando , ; e quando , .

Passo 9

Substituindo, a integral fica:
Calculando e :

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral total:

Resposta

A área da superfície é .

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