Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(a) Encontre a área do parabolóide
delimitado pelos plano
Thomas 12ed exer 16.5.37
Sol.
(a) Encontre a área do parabolóide
Thomas 12ed exer 16.5.37
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície definida pelo parabolóide
que está limitada pelo plano
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas de superfícies usando integração, então vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para deixar
em função de
e
:
Isso nos mostra que
depende de
e
, o que facilita a parametrização da superfície.
Passo 3
A próxima coisa é entender que queremos calcular a área dessa superfície até
. Como
, isso significa que
. Essa equação representa um círculo no plano
com raio
.
Passo 4
Para calcular a área da superfície
sobre a região
, vamos usar a fórmula da área de uma superfície parametrizada:
Aqui,
é a região no plano
onde
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora substituímos na fórmula da área:
Passo 6
Como a região
é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
O elemento de área
vira
, e a expressão dentro da raiz fica:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em
primeiro.
Passo 8
Para resolver
, fazemos uma substituição:
Quando
,
; e quando
,
.
Passo 9
Substituindo, a integral fica:
Calculando
e
:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral total:
Resposta
A área da superfície é
.
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Thomas 12ed exer 16.5.17
Sol.
Resolva os problemas de valor inicial.
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