Encontre a área das superfícies.
(m) A parte do cilindro
que está dentro do cilindro
Essex exer 15.5.10
Sol.
(m) A parte do cilindro
Essex exer 15.5.10
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a área de uma parte de um cilindro definido pela equação
que está dentro de outro cilindro, cuja equação é
. Basicamente, queremos saber quanto dessa superfície do primeiro cilindro está dentro do segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros. A equação
descreve um cilindro circular reto com raio
ao longo do eixo
. Ou seja, ele se estende infinitamente na direção do eixo
e tem uma base circular no plano
.
Já a equação
descreve outro cilindro circular reto, mas desta vez com raio
ao longo do eixo
, prolongando-se na direção do eixo
e com base circular no plano
.
Passo 3
Agora, precisamos visualizar onde esses dois cilindros se intersectam. A interseção deles forma uma figura simétrica em relação aos eixos. Para encontrar a área da superfície do primeiro cilindro que está dentro do segundo, podemos considerar que essa área será limitada pelas duas curvas onde os cilindros se cortam.
Passo 4
Para calcular essa área, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com cilindros. A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é:
Mas, nesse caso, como os cilindros são simétricos e perpendiculares, podemos simplificar o processo aproveitando a simetria.
Passo 5
Observando a simetria dos cilindros, percebemos que a área procurada corresponde a múltiplas repetições de uma mesma área em diferentes quadrantes. Calculamos a área em um quadrante e multiplicamos pelo número de quadrantes para obter a área total.
Passo 6
Após realizar os cálculos de integração e considerar a simetria dos cilindros, concluímos que a área da superfície do cilindro
que está dentro do cilindro
é:
Resposta
A área das superfícies é
.
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Resolva os problemas de valor inicial.