Encontre a área das superfícies.
(m) A parte do cilindro que está dentro do cilindro
Essex exer 15.5.10
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a área de uma parte de um cilindro definido pela equação que está dentro de outro cilindro, cuja equação é . Basicamente, queremos saber quanto dessa superfície do primeiro cilindro está dentro do segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros. A equação descreve um cilindro circular reto com raio ao longo do eixo . Ou seja, ele se estende infinitamente na direção do eixo e tem uma base circular no plano .
Já a equação descreve outro cilindro circular reto, mas desta vez com raio ao longo do eixo , prolongando-se na direção do eixo e com base circular no plano .

Passo 3

Agora, precisamos visualizar onde esses dois cilindros se intersectam. A interseção deles forma uma figura simétrica em relação aos eixos. Para encontrar a área da superfície do primeiro cilindro que está dentro do segundo, podemos considerar que essa área será limitada pelas duas curvas onde os cilindros se cortam.

Passo 4

Para calcular essa área, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com cilindros. A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é:
Mas, nesse caso, como os cilindros são simétricos e perpendiculares, podemos simplificar o processo aproveitando a simetria.

Passo 5

Observando a simetria dos cilindros, percebemos que a área procurada corresponde a múltiplas repetições de uma mesma área em diferentes quadrantes. Calculamos a área em um quadrante e multiplicamos pelo número de quadrantes para obter a área total.

Passo 6

Após realizar os cálculos de integração e considerar a simetria dos cilindros, concluímos que a área da superfície do cilindro que está dentro do cilindro é:

Resposta

A área das superfícies é .

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