Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de cada uma dessas superfícies que estão dadas em coordenadas cilíndricas, mas em coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas cilíndricas
e cartesianas
:
Então, vamos transformar cada uma das equações dadas.
Passo 2
a)
Primeiro, substituímos
e
pelas expressões em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a raiz:
Arrumando os termos:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 3
b)
Vamos usar as identidades trigonométricas e relações cartesianas. Sabemos que:
E
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 4
c)
Primeiro, expressamos
e
em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 5
d)
Vamos substituir
e
pelas expressões em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Vamos isolar os termos com raiz:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Arrumando todos os termos:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Resposta
As equações em coordenadas cartesianas das superfícies são:
a)
b)
c)
d)
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Sol.
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.
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.