Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de cada uma dessas superfícies que estão dadas em coordenadas cilíndricas, mas em coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas cilíndricas e cartesianas :
Então, vamos transformar cada uma das equações dadas.

Passo 2

a)
Primeiro, substituímos e pelas expressões em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a raiz:
Arrumando os termos:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 3

b)
Vamos usar as identidades trigonométricas e relações cartesianas. Sabemos que:
E . Substituindo na equação:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 4

c)
Primeiro, expressamos e em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Multiplicamos ambos os lados por :
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 5

d)
Vamos substituir e pelas expressões em coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por :
Vamos isolar os termos com raiz:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Arrumando todos os termos:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Resposta

As equações em coordenadas cartesianas das superfícies são:
a)
b)
c)
d)

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.
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