Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
cc a) r=3 cos theta & b) r^2 cos 2 theta=z^3 c) z^2 sen^3 theta=r^3 & d) r=3+2 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de cada uma dessas superfícies que estão dadas em coordenadas cilíndricas, mas em coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas cilíndricas x = r cos theta, y = r sin theta, z = z e cartesianas :
Então, vamos transformar cada uma das equações dadas.

Passo 2

a) r = raizx^2 + y^2, cos theta = xraizx^2 + y^2
Primeiro, substituímos raizx^2 + y^2 = 3 ( xraizx^2 + y^2 ) e x^2 + y^2 = 3x pelas expressões em coordenadas cartesianas:
x^2 - 3x + y^2 = 0
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a raiz:
Arrumando os termos:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 3

b) cos 2theta = cos^2 theta - sin^2 theta = x^2 - y^2x^2 + y^2
Vamos usar as identidades trigonométricas e relações cartesianas. Sabemos que:
(x^2 + y^2) ( x^2 - y^2x^2 + y^2 ) = z^3
E x^2 - y^2 = z^3 . Substituindo na equação:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 4

c) sin theta = yraizx^2 + y^2, r = raizx^2 + y^2
Primeiro, expressamos z^2 ( yraizx^2 + y^2 )^3 = (raizx^2 + y^2)^3 e z^2 y^3(x^2 + y^2)^3/2 = (x^2 + y^2)^3/2 em coordenadas cartesianas:
z^2 y^3 = (x^2 + y^2)^3
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Multiplicamos ambos os lados por :
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 5

d) r = raizx^2 + y^2, cos theta = xraizx^2 + y^2
Vamos substituir raizx^2 + y^2 = 3 + 2 ( xraizx^2 + y^2 ) e x^2 + y^2 = 3raizx^2 + y^2 + 2x pelas expressões em coordenadas cartesianas:
x^2 + y^2 - 2x = 3raizx^2 + y^2
Substituindo na equação:
(x^2 + y^2 - 2x)^2 = 9(x^2 + y^2)
Multiplicamos ambos os lados por x^4 + y^4 + 4x^2 - 4x^3 - 4x y^2 + 4x^2 y^2 = 9x^2 + 9y^2 :
x^4 + y^4 + 4x^2 - 4x^3 - 4x y^2 + 4x^2 y^2 - 9x^2 - 9y^2 = 0
Vamos isolar os termos com raiz:
x^4 + y^4 - 4x^3 + (4x^2 y^2) - 5x^2 - 4x y^2 - 9y^2 = 0
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Arrumando todos os termos:
Simplificando:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Resposta

As equações em coordenadas cartesianas das superfícies são:
a)
b)
c)
d)

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