Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de ordem segunda com coeficientes constantes. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada. Assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Logo,
Isso nos dá duas raízes reais:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro,
:
Passo 7
Em seguida, precisamos da derivada de
:
Aplicando a condição
:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver a primeira equação para
:
Substituímos
na segunda equação:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Simplificando um pouco mais:
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.