Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de ordem segunda com coeficientes constantes. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada. Assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Logo,
Isso nos dá duas raízes reais:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, :

Passo 7

Em seguida, precisamos da derivada de :
Aplicando a condição :

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver a primeira equação para :
Substituímos na segunda equação:

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Agora, substituímos na expressão para :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Simplificando um pouco mais:

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