Uma função diferenciável tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção e igual a -3 na direção . Calcule em que é o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função diferenciável no ponto e sabe as derivadas direcionais dessa função em duas direções diferentes. Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional na direção de um vetor específico . Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas direcionais, gradiente e como essas derivadas se relacionam com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente da função .

Passo 3

Vamos calcular os vetores unitários das direções dadas:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Sabemos que as derivadas direcionais são dadas por:
Vamos escrever o gradiente como , onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Substituindo na equação das derivadas direcionais:
çã
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 4 e a Equação 2 por 3 para facilitar a eliminação:
çãçã
Subtraindo a Equação 4 da Equação 3:
Agora, substituindo na Equação 1:
Então, o gradiente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada direcional na direção de .
Usando a fórmula da derivada direcional:
Simplificando:

Resposta

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