Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção
e igual a -3 na direção
. Calcule
em que
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função diferenciável
no ponto
e sabe as derivadas direcionais dessa função em duas direções diferentes. Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional na direção de um vetor específico
. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas direcionais, gradiente e como essas derivadas se relacionam com os vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o gradiente da função
.
Passo 3
Vamos calcular os vetores unitários das direções dadas:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Sabemos que as derivadas direcionais são dadas por:
Vamos escrever o gradiente como
, onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Substituindo na equação das derivadas direcionais:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 4 e a Equação 2 por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a Equação 4 da Equação 3:
Agora, substituindo
na Equação 1:
Então, o gradiente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada direcional na direção de
.
Usando a fórmula da derivada direcional:
Simplificando:
Resposta
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Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
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;
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