Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas , e usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integração e como determinar os pontos de interseção entre as curvas para definir os limites de integração. Também vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor a região que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, os pontos de interseção entre elas. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração.
Vamos resolver as equações duas a duas:
  1. Interseção entre e :
Substituindo em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é .
  1. Interseção entre e :
Substituindo em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é .
  1. Interseção entre e :
Substituindo em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos esboçar o gráfico para visualizar a região.
  • A reta passa por e .
  • A reta passa por e .
  • A reta passa por e .
A região delimitada por essas curvas forma um polígono com vértices nos pontos de interseção encontrados.

Passo 4

Vamos determinar quais funções estão acima ou abaixo nas diferentes partes da região para configurar as integrais definidas corretamente.
  • Entre e :
    • A função superior é .
    • A função inferior é .
  • Entre e :
    • A função superior é .
    • A função inferior é .

Passo 5

Agora vamos configurar as integrais definidas para calcular a área das duas partes da região.
  1. Área entre e :
  1. Área entre e :

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Calculando :
á
  1. Calculando :
á
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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e ;