Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
e
usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integração e como determinar os pontos de interseção entre as curvas para definir os limites de integração. Também vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor a região que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, os pontos de interseção entre elas. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração.
Vamos resolver as equações duas a duas:
- Interseção entre
e :
Substituindo
em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e :
Substituindo
em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e :
Substituindo
em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção:
,
e
, vamos esboçar o gráfico para visualizar a região.
- A reta
passa por e . - A reta
passa por e . - A reta
passa por e .
A região delimitada por essas curvas forma um polígono com vértices nos pontos de interseção encontrados.
Passo 4
Vamos determinar quais funções estão acima ou abaixo nas diferentes partes da região para configurar as integrais definidas corretamente.
-
Entre
e : - A função superior é
. - A função inferior é
.
- A função superior é
-
Entre
e : - A função superior é
. - A função inferior é
.
- A função superior é
Passo 5
Agora vamos configurar as integrais definidas para calcular a área das duas partes da região.
- Área entre
e :
- Área entre
e :
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Calculando
:
- Calculando
:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção
e igual a -3 na direção
. Calcule
em que
é o versor de
.
Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
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