Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas do cálculo que nos ajudam a calcular áreas sob curvas. Vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Como
, isso significa que a curva
está acima da
entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
, onde
está acima de
, de
a
é:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 5
Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 e 0:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, a área da região limitada pelas curvas
e
é:
Esboço do Gráfico
Embora eu não possa desenhar aqui, vou te explicar como fica o gráfico. A curva
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°, e a curva
�� uma parábola que também passa pela origem, mas é mais “achata”. Entre
e
, a linha reta está acima da parábola, formando uma espécie de “olho” ou “fenda”. A área que calculamos está justamente nesse espaço entre as duas curvas.
Exercícios relacionados
Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Encontre
e
para a função
.
Mostre que a EDO
é exata e encontre a solução geral.