Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área da região que está entre as curvas e . Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas do cálculo que nos ajudam a calcular áreas sob curvas. Vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , isso significa que a curva está acima da entre e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas e , onde está acima de , de a é:
Á
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Á

Passo 5

Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, substituindo na integral:
Á

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :

Resposta

Então, a área da região limitada pelas curvas e é:
Á

Esboço do Gráfico

Embora eu não possa desenhar aqui, vou te explicar como fica o gráfico. A curva é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°, e a curva �� uma parábola que também passa pela origem, mas é mais “achata”. Entre e , a linha reta está acima da parábola, formando uma espécie de “olho” ou “fenda”. A área que calculamos está justamente nesse espaço entre as duas curvas.

Exercícios relacionados

Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
Encontre e para a função .
Mostre que a EDO
é exata e encontre a solução geral.