Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série de potências que precisamos analisar para descobrir qual é o raio de convergência e o intervalo de convergência dela. A série que estamos estudando é:
Aqui, estamos lidando com uma série de potências do tipo , onde é o centro da série. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência, e depois determinar o intervalo onde a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. O raio de convergência nos diz até que ponto, a partir do centro da série, os valores de fazem a série convergir.
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para séries desse tipo. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos os termos e :
Agora, vamos montar a razão :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que :
Passo 5
Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição:
Multiplicando todos os lados por 7:
Agora, somando 9 a todas as partes:
Isso significa que o intervalo de convergência está entre 2 e 16. O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo, ou seja, 7.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .