Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência. (1,0) sumn=1^infty (x-9)^nn 7^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série de potências que precisamos analisar para descobrir qual é o raio de convergência e o intervalo de convergência dela. A série que estamos estudando é:
sumn=1^infty (x-9)^nn cdot 7^n
Aqui, estamos lidando com uma série de potências do tipo , onde é o centro da série. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência, e depois determinar o intervalo onde a série realmente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. O raio de convergência nos diz até que ponto, a partir do centro da série, os valores de L = limn to infty | an+1an | fazem a série convergir.
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para séries desse tipo. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos os termos an = (x-9)^nn cdot 7^n e an+1 = (x-9)^n+1(n+1) cdot 7^n+1 :
| an+1an | = | (x-9)^n+1(n+1) cdot 7^n+1 cdot n cdot 7^n(x-9)^n | = | (x-9) cdot n7 cdot (n+1) |
Agora, vamos montar a razão :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x-9) cdot n7 cdot (n+1) | = | x-97 | cdot limn to infty nn+1 = | x-97 | cdot 1 = | x-97 | tende ao infinito:
| x-97 | < 1
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 5

Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de | x-97 | < 1 implies -1 < x-97 < 1 que satisfazem essa condição:
-7 < x - 9 < 7
Multiplicando todos os lados por 7:
2 < x < 16
Agora, somando 9 a todas as partes:
Isso significa que o intervalo de convergência está entre 2 e 16. O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo, ou seja, 7.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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