Encontre as assíntotas horizontais da curva . Faça o esboço gráfico da função.
0,2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as assíntotas horizontais da função e fazer o esboço do gráfico dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e como calcular limites, especialmente quando vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha reta que o gráfico da função se aproxima conforme vai para ou . Para encontrar essas assíntotas, precisamos calcular o limite de quando tende a e a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a :
À medida que fica muito grande, domina o , então fica quase igual a . Assim, temos:
Portanto, uma assíntota horizontal é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a :
Assim como antes, domina o , e é sempre positivo, independente do valor de . Então:
Isso confirma que a assíntota horizontal também é .

Passo 5

Então, concluímos que a função tem uma única assíntota horizontal em .

Resposta

A assíntota horizontal da curva é . O esboço gráfico da função mostra que o gráfico se aproxima da linha quando vai para ou .

Esboço Gráfico

Além disso, o gráfico possui assíntotas verticais em e , pois o denominador se anula nesses pontos, causando comportamento assintótico vertical.
Aqui está um esboço simples:
y
|
|        *         *
|         \       /
|          \     /
|           \   /
|------------y=0------------
|           /   \
|          /     \
|         /       \
|        *         *
|
Os asteriscos (*) indicam as assíntotas verticais em e , e a linha horizontal no meio é a assíntota horizontal .

Exercícios relacionados

No mesmo plano cartesiano, utilizando o intervalo construa o gráfico das funções: e .
Questão:(Valor - 1,0 cada) Calcule:
Calcule justificando cada uma das passagens com as propriedades dos limites que foram utilizadas.
2,0
2,5
2,9
4,0
3,5
3,9
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
i.