Questão:(Valor - 1,0 cada) Calcule: integral x(x+3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver esse tipo de integral, a gente vai precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a função para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar o denominador de u = x + 3 :
dudx = 1 implies du = dx
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 3

Precisamos reescrever todo o integrando em termos de integral x(x+3)^2 , dx = integral u - 3u^2 , du . Observamos que integral ( uu^2 - 3u^2 ) du = integral ( 1u - 3u^-2 ) du (já que ). Então, substituindo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
integral 1u , du = ln |u|
E:
integral u^-2 , du = -u^-1 = -1u
Então, aplicando isso na nossa integral:
integral ( 1u - 3u^-2 ) du = ln |u| + 3u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por último, vamos voltar para a variável original ln |x + 3| + 3x + 3 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral ln |x + 3| + 3x + 3 + C é igual a:

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