Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função que tem derivada contínua, ou seja, é diferenciável e sua derivada não pára de existir. Sabemos que a derivada de em 2 é . Além disso, temos um limite envolvendo e que resulta em . Nosso objetivo é descobrir se a soma de e é igual a .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite fornecido:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada. Lembrando que:
Aqui, , então podemos reescrever os termos e usando a derivada em 2.
Vamos considerar e . Assim, podemos aproximar:
Passo 3
Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
Simplificando:
Agora, como tende a 0, o termo tende ao infinito a menos que . Para que o limite seja finito , precisamos que . Com isso, a expressão simplifica para:
Passo 4
Sabemos que esse limite é igual a . Então:
Como , substituímos:
Passo 5
Agora, vamos isolar :
Resposta
Portanto, , o que não é igual a . Logo, a afirmação não pode ser deduzida a partir das informações dadas.