Se f tem derivada continua, f^prime(2)=4 e lim x 0 f(A x+2)+f(B x+2)3 x=16, é possível deduzir que
i. A+B=23

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função que tem derivada contínua, ou seja, é diferenciável e sua derivada não pára de existir. Sabemos que a derivada de em 2 é . Além disso, temos um limite envolvendo e que resulta em . Nosso objetivo é descobrir se a soma de e é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite fornecido:
limx to 0 f(Ax + 2) + f(Bx + 2)3x = 16
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada. Lembrando que:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Aqui, f(Ax + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Ax , então podemos reescrever os termos f(Bx + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Bx e usando a derivada em 2.
Vamos considerar e . Assim, podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
f(Ax + 2) + f(Bx + 2)3x approx [f(2) + f'(2) cdot Ax] + [f(2) + f'(2) cdot Bx]3x
Simplificando:
2f(2) + f'(2) cdot (A + B)x3x
Agora, como f'(2) cdot (A + B)x3x = f'(2) cdot (A + B)3 tende a 0, o termo tende ao infinito a menos que . Para que o limite seja finito , precisamos que . Com isso, a expressão simplifica para:

Passo 4

Sabemos que esse limite é igual a f'(2) cdot (A + B)3 = 16 . Então:
4e cdot (A + B)3 = 16
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos isolar 4e cdot (A + B) = 36 = 12 :
A + B = 12 cdot 4e = 18e

Resposta

Portanto, , o que não é igual a . Logo, a afirmação não pode ser deduzida a partir das informações dadas.

Exercícios relacionados