Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função que tem derivada contínua, ou seja, é diferenciável e sua derivada não pára de existir. Sabemos que a derivada de em 2 é . Além disso, temos um limite envolvendo e que resulta em . Nosso objetivo é descobrir se a soma de e é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite fornecido:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada. Lembrando que:
Aqui, , então podemos reescrever os termos e usando a derivada em 2.
Vamos considerar e . Assim, podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
Simplificando:
Agora, como tende a 0, o termo tende ao infinito a menos que . Para que o limite seja finito , precisamos que . Com isso, a expressão simplifica para:

Passo 4

Sabemos que esse limite é igual a . Então:
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Resposta

Portanto, , o que não é igual a . Logo, a afirmação não pode ser deduzida a partir das informações dadas.

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Calcule justificando cada uma das passagens com as propriedades dos limites que foram utilizadas.
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2,9
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0,2
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
ii.
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iii.