Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:
f(x) = (2x^2 + 1) / (3x^2 + 2x - 1)

Passo 1

Beleza, galera! Então, o enunciado está pedindo para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Vamos usar conceitos de cálculo de limites e análise de funções racionais pra resolver isso. Precisaremos entender como identificar assíntotas horizontais e verticais em funções do tipo racional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero nesse mesmo ponto. Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador igual a zero.
O denominador é . Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Vamos calcular o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais:
Assim, as raízes são:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se realmente são assíntotas verticais. Para isso, precisamos garantir que o numerador não seja zero nesses pontos.
Vamos verificar :
E :
Como o numerador não é zero nesses pontos, realmente temos assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas são determinadas observando o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito.
Em funções racionais, se os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Na nossa função:
  • Grau do numerador: 2 (por )
  • Grau do denominador: 2 (por )
Como os graus são iguais, a assíntota horizontal é:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Resposta

As assíntotas verticais da função são e , e a assíntota horizontal é .

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