Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:
Passo 1
Beleza, galera! Então, o enunciado está pedindo para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e análise de funções racionais pra resolver isso. Precisaremos entender como identificar assíntotas horizontais e verticais em funções do tipo racional.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero nesse mesmo ponto. Então, vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero.
O denominador é
. Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Vamos calcular o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais:
Assim, as raízes são:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se realmente são assíntotas verticais. Para isso, precisamos garantir que o numerador não seja zero nesses pontos.
Vamos verificar
:
E
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, realmente temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas são determinadas observando o comportamento da função quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Em funções racionais, se os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Na nossa função:
- Grau do numerador: 2 (por
) - Grau do denominador: 2 (por
)
Como os graus são iguais, a assíntota horizontal é:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Resposta
As assíntotas verticais da função são
e
, e a assíntota horizontal é
.