Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Vamos usar conceitos de análise de funções racionais, especificamente sobre como determinar assíntotas. Precisamos entender quando a função se aproxima de uma linha reta horizontal ou vertical conforme
vai para infinito ou para certos valores que fazem o denominador zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a identificação das assíntotas. Observamos que o denominador pode ser reescrito:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero (pois a função não está definida nesses pontos).
Resolvendo
:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
,
e
.
Passo 4
Vamos verificar se essas funções realmente se tornam assíntotas verticais. Para isso, analisamos o comportamento de
próximo a esses valores.
- Em
:
À medida que
se aproxima de 0, o denominador tende a 0, enquanto o numerador tende a 1. Portanto,
tende ao infinito. Então, há uma assíntota vertical em
.
- Em
e :
Similarmente, quando
se aproxima de 1 ou -1, o denominador tende a 0, e o numerador tende a
ou
, respectivamente. Portanto,
tende ao infinito nesses pontos também. Assim, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende ao infinito ou menos infinito, e analisamos o limite de
nesses casos.
Calculando o limite de
quando
tende a
ou
:
À medida que
tende a
ou
,
tende a 0, então:
E, como
tende a
, o limite é 0. Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
,
e
, e uma assíntota horizontal em
.
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Verifique se as funções são contínuas nos pontos indicados:
em
.
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