Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Vamos usar conceitos de análise de funções racionais, especificamente sobre como determinar assíntotas. Precisamos entender quando a função se aproxima de uma linha reta horizontal ou vertical conforme vai para infinito ou para certos valores que fazem o denominador zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a identificação das assíntotas. Observamos que o denominador pode ser reescrito:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero (pois a função não está definida nesses pontos).
Resolvendo :
Então, temos possíveis assíntotas verticais em , e .

Passo 4

Vamos verificar se essas funções realmente se tornam assíntotas verticais. Para isso, analisamos o comportamento de próximo a esses valores.
  • Em :
À medida que se aproxima de 0, o denominador tende a 0, enquanto o numerador tende a 1. Portanto, tende ao infinito. Então, há uma assíntota vertical em .
  • Em e :
Similarmente, quando se aproxima de 1 ou -1, o denominador tende a 0, e o numerador tende a ou , respectivamente. Portanto, tende ao infinito nesses pontos também. Assim, temos assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende ao infinito ou menos infinito, e analisamos o limite de nesses casos.
Calculando o limite de quando tende a ou :
À medida que tende a ou , tende a 0, então:
E, como tende a , o limite é 0. Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui assíntotas verticais em , e , e uma assíntota horizontal em .

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Verifique se as funções são contínuas nos pontos indicados:
em .
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