Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:
f(x) = (x + 1) / raiz(4 x^2 + 7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva da função . Isso envolve entender um pouco sobre limites e como as funções se comportam quando fica muito grande ou quando o denominador pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos ver as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função fica “explodindo”, ou seja, onde o denominador é zero porque dividir por zero não é permitido.
Então, vamos resolver quando:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, tentamos isolar :
Aqui, percebemos que igual a um número negativo não tem solução real, já que o quadrado de um número real nunca é negativo. Isso significa que não existem valores de que fazem o denominador ser zero.

Passo 3

Como não encontramos valores que tornam o denominador zero, concluímos que não há assíntotas verticais para essa função.
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que mostram para onde a função se aproxima quando vai para ou .

Passo 4

Para encontrar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função quando tende a e .
Primeiro, para :
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Então, a função se aproxima de quando vai para .

Passo 5

Agora, para :
Novamente, dividimos numerador e denominador por (lembre-se que é negativo agora):
Mas como é negativo, o numerador efetivamente se aproxima de .

Passo 6

Portanto, as assíntotas horizontais são e , já que a função se aproxima desses valores quando vai para e , respectivamente.

Resposta

A função tem assíntotas horizontais em e e não possui assíntotas verticais.

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