Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico de curva das estimativas das assíntotas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva da função
. Isso envolve entender um pouco sobre limites e como as funções se comportam quando
fica muito grande ou quando o denominador pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos ver as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função fica “explodindo”, ou seja, onde o denominador é zero porque dividir por zero não é permitido.
Então, vamos resolver quando:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, tentamos isolar
:
Aqui, percebemos que
igual a um número negativo não tem solução real, já que o quadrado de um número real nunca é negativo. Isso significa que não existem valores de
que fazem o denominador ser zero.
Passo 3
Como não encontramos valores que tornam o denominador zero, concluímos que não há assíntotas verticais para essa função.
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que mostram para onde a função se aproxima quando
vai para
ou
.
Passo 4
Para encontrar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função quando
tende a
e
.
Primeiro, para
:
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Então, a função se aproxima de
quando
vai para
.
Passo 5
Agora, para
:
Novamente, dividimos numerador e denominador por
(lembre-se que
é negativo agora):
Mas como
é negativo, o numerador efetivamente se aproxima de
.
Passo 6
Portanto, as assíntotas horizontais são
e
, já que a função se aproxima desses valores quando
vai para
e
, respectivamente.
Resposta
A função
tem assíntotas horizontais em
e
e não possui assíntotas verticais.