Suponha que r1 e r2 são raízes de a * r^2 + b * r + c = 0 e que r1 != r2; então, exp(r1 * t) e exp(r2 * t) são soluções da equação diferencial a y'' + b y' + c y = 0. Mostre que
phi(t ; r1, r2) = (e^(r2 * t) - e^(r1 * t)) / (r2 - r1)
também é solução da equação para r2 != r1. Depois, pense em r1 como fixo e use a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
é também uma solução da equação diferencial
dado que e são raízes distintas da equação quadrática . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e propriedades das soluções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se e são raízes distintas da equação quadrática , então as funções e são soluções da equação diferencial dada. Isso vem do fato de que, substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica .

Passo 3

Agora, queremos verificar se também satisfaz a equação diferencial. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de em relação a t.
Primeiro, calculemos a derivada primeira:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada segunda:

Passo 5

Com as derivadas calculadas, vamos substituir , e na equação diferencial :

Passo 6

Vamos agora simplificar essa expressão. Podemos fatorar em comum:

Passo 7

Agora, agrupamos os termos que contêm e :

Passo 8

Lembrando que r1 e r2 são raízes da equação , temos:
Substituindo esses valores na expressão anterior:

Resposta

Portanto, é, de fato, uma solução da equação diferencial quando r1 != r2.

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