Suponha que
e
são raízes de
e que
; então,
e
são soluções da equação diferencial
. Mostre que
também é solução da equação para
. Depois, pense em
como fixo e use a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
é também uma solução da equação diferencial
dado que
e
são raízes distintas da equação quadrática
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e propriedades das soluções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
e
são raízes distintas da equação quadrática
, então as funções
e
são soluções da equação diferencial dada. Isso vem do fato de que, substituindo
na equação diferencial, obtemos a equação característica
.
Passo 3
Agora, queremos verificar se
também satisfaz a equação diferencial. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
em relação a
.
Primeiro, calculemos a derivada primeira:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada segunda:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, vamos substituir
,
e
na equação diferencial
:
Passo 6
Vamos agora simplificar essa expressão. Podemos fatorar
em comum:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos que contêm
e
:
Passo 8
Lembrando que
e
são raízes da equação
, temos:
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Resposta
Portanto,
é, de fato, uma solução da equação diferencial
quando
.