Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função abaixo, caso existam:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Vamos precisar entender o que são assíntotas, especialmente para funções racionais, e saber como identificar onde elas acontecem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas verticais. Elas aparecem onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é igual a zero e a função não está definida. Então, para encontrar as assíntotas verticais, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais distintas.

Passo 5

Aplicando Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, temos duas assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é . Nesse caso, o grau do numerador é 1 ( ) e o grau do denominador é 2 ( ), então realmente o grau do numerador é menor.

Passo 7

Portanto, a assíntota horizontal é:
Isso significa que, conforme vai para mais ou menos infinito, o valor de se aproxima de zero.

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas verticais em e
  • Assíntota horizontal em

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