Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função abaixo, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Vamos precisar entender o que são assíntotas, especialmente para funções racionais, e saber como identificar onde elas acontecem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas verticais. Elas aparecem onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é igual a zero e a função não está definida. Então, para encontrar as assíntotas verticais, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais distintas.
Passo 5
Aplicando Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, temos duas assíntotas verticais em
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é
. Nesse caso, o grau do numerador é 1 (
) e o grau do denominador é 2 (
), então realmente o grau do numerador é menor.
Passo 7
Portanto, a assíntota horizontal é:
Isso significa que, conforme
vai para mais ou menos infinito, o valor de
se aproxima de zero.
Resposta
As assíntotas da função são:
- Assíntotas verticais em
e - Assíntota horizontal em
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Calcule
, pela definição:
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, pela definição: