Encontre as assíntotas, verticais e horizontais, das funções f(x) = (x^2 - 5x - 6) / (3x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Isso faz parte do estudo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador e analisar os comportamentos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, porque a função não está definida nesses pontos e tende a infinito. Para isso, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos conferir se também anula o numerador. Se sim, pode ser que a assíntota vertical não exista ou seja uma “removível”. Vamos substituir no numerador:
Como o numerador também é zero quando , isso significa que há uma hole (buraco) no gráfico nessa posição, em vez de uma assíntota vertical.

Passo 4

Vamos simplificar a função para ver se conseguimos reduzir a fração. Vamos fatorar o numerador:
E o denominador já está fatorado:
Então, a função simplifica para:
Agora, como o foi cancelado, a única assíntota vertical era em , que virou um buraco.

Passo 5

Vamos encontrar as assíntotas horizontais olhando o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Depois de simplificada, nossa função é:
Essa é uma reta linear, o que significa que não há assíntota horizontal. No entanto, como a função se aproxima de uma reta quando aumenta ou diminui, podemos dizer que a função tem uma assíntota oblíqua na forma da própria reta .

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical em (que na verdade é um buraco no gráfico).
  • Assíntota oblíqua na reta .

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