Encontre as assíntotas, verticais e horizontais, das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Isso faz parte do estudo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador e analisar os comportamentos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, porque a função não está definida nesses pontos e tende a infinito. Para isso, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
também anula o numerador. Se sim, pode ser que a assíntota vertical não exista ou seja uma “removível”. Vamos substituir
no numerador:
Como o numerador também é zero quando
, isso significa que há uma hole (buraco) no gráfico nessa posição, em vez de uma assíntota vertical.
Passo 4
Vamos simplificar a função para ver se conseguimos reduzir a fração. Vamos fatorar o numerador:
E o denominador já está fatorado:
Então, a função simplifica para:
Agora, como o
foi cancelado, a única assíntota vertical era em
, que virou um buraco.
Passo 5
Vamos encontrar as assíntotas horizontais olhando o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito. Depois de simplificada, nossa função é:
Essa é uma reta linear, o que significa que não há assíntota horizontal. No entanto, como a função se aproxima de uma reta quando
aumenta ou diminui, podemos dizer que a função tem uma assíntota oblíqua na forma da própria reta
.
Resposta
A função
possui:
- Assíntota vertical em
(que na verdade é um buraco no gráfico). - Assíntota oblíqua na reta
.