Encontre a função inversa das funções, seus respectivos domínios e imagens.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a função inversa da função
, além dos domínios e imagens de cada uma. Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa e como encontrá-la. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para encontrar a função inversa, a gente troca
por
na equação da função original e depois resolve para
. Então, começamos substituindo:
Passo 3
Agora, trocamos
por
e
por
:
Nosso objetivo é isolar
para achar a inversa.
Passo 4
Vamos subtrair 1 de ambos os lados para começar a isolar a raiz:
Passo 5
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, isolamos
. Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados:
Passo 7
Por fim, dividimos ambos os lados por 3 para resolver para
:
Então, a função inversa é:
Passo 8
Agora, vamos determinar os domínios e imagens das funções
e
.
Para
:
- Domínio: O que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
- Imagem: Como a raiz sempre dá um número não negativo e estamos somando 1:
Para
:
- Domínio: A imagem de
é o domínio de , então: - Imagem: O domínio de
é o domínio de , então:
Resposta
A função inversa é
. O domínio de
é
e sua imagem é
. Já o domínio de
é
e sua imagem é
.