Encontre a função inversa das funções, seus respectivos domínios e imagens. g(x) = 1 + raiz(2 + 3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a função inversa da função , além dos domínios e imagens de cada uma. Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa e como encontrá-la. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar a função inversa, a gente troca por na equação da função original e depois resolve para . Então, começamos substituindo:

Passo 3

Agora, trocamos por e por :
Nosso objetivo é isolar para achar a inversa.

Passo 4

Vamos subtrair 1 de ambos os lados para começar a isolar a raiz:

Passo 5

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Agora, isolamos . Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 7

Por fim, dividimos ambos os lados por 3 para resolver para :
Então, a função inversa é:

Passo 8

Agora, vamos determinar os domínios e imagens das funções e .
Para :
  • Domínio: O que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
  • Imagem: Como a raiz sempre dá um número não negativo e estamos somando 1:
Para :
  • Domínio: A imagem de é o domínio de , então:
  • Imagem: O domínio de é o domínio de , então:

Resposta

A função inversa é . O domínio de é e sua imagem é . Já o domínio de é e sua imagem é .

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