Encontre as assíntotas, verticais e horizontais, das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de assíntotas em funções racionais, que nos ajuda a entender como o gráfico da função se comporta em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de
que fazem o denominador da fração ser zero, pois a função não está definida nesses pontos.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Factorizando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Mas calma aí! Precisamos conferir se, nesses valores de
, o numerador também não é zero, porque se for, pode ser um “buraco” no gráfico e não uma assíntota.
Vamos verificar:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero em
nem em
, confirmamos que essas são realmente assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
- O grau do numerador
é 2. - O grau do denominador
também é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, o coeficiente principal do numerador é 3 e do denominador é 1, então:
Então, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
.