Encontre as assíntotas, verticais e horizontais, das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de assíntotas em funções racionais, que nos ajuda a entender como o gráfico da função se comporta em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de
que fazem o denominador da fração ser zero, pois a função não está definida nesses pontos.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Factorizando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Mas calma aí! Precisamos conferir se, nesses valores de
, o numerador também não é zero, porque se for, pode ser um “buraco” no gráfico e não uma assíntota.
Vamos verificar:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero em
nem em
, confirmamos que essas são realmente assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
- O grau do numerador
é 2. - O grau do denominador
também é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, o coeficiente principal do numerador é 3 e do denominador é 1, então:
Então, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.3ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 8530.4 1169.5”><title>g(x) = 1 + raiz(2 + 3 x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z”></path></g><g 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