Encontre as assíntotas, verticais e horizontais, das funções h(x) = (3 x^2 + 2) / (x^2 - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Esse tipo de problema faz parte do estudo de assíntotas em funções racionais, que nos ajuda a entender como o gráfico da função se comporta em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de que fazem o denominador da fração ser zero, pois a função não está definida nesses pontos.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Factorizando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 3

Mas calma aí! Precisamos conferir se, nesses valores de , o numerador também não é zero, porque se for, pode ser um “buraco” no gráfico e não uma assíntota.
Vamos verificar:
Para :
Para :
Como o numerador não é zero em nem em , confirmamos que essas são realmente assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
  • O grau do numerador é 2.
  • O grau do denominador também é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, o coeficiente principal do numerador é 3 e do denominador é 1, então:
Então, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntota horizontal: .

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