Verifique a continuidade das funções, classificando-as como remivível ou não removivel y = sen(x^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma função que é definida por partes, ou seja, ela tem diferentes expressões dependendo do intervalo de . O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio e, caso não seja, classificar os tipos de descontinuidades encontradas como removíveis ou não removíveis. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e como verificar a continuidade em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função pode apresentar descontinuidade. Como é definida por três partes diferentes, os possíveis pontos de descontinuidade são onde as definições mudam, ou seja, em e .

Passo 3

Vamos analisar a continuidade em .
  • Limite à esquerda de -2 ( ):
    A expressão para é . Calculamos:
  • Limite à direita de -2 ( ):
    A expressão para é . Calculamos:
  • Valor da função em :
    Como está inclusivo na primeira parte, temos:
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), há uma descontinuidade em . Além disso, como o limite existe de um lado e não coincide com o valor da função, essa descontinuidade é não removível.

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade em .
  • Limite à esquerda de 2 ( ):
    A expressão para é . Calculamos:
  • Limite à direita de 2 ( ):
    A expressão para é . Calculamos:
  • Valor da função em :
    Como está inclusivo na segunda parte, temos:
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), indicando uma descontinuidade em . Novamente, como os limites não coincidem e não há uma única forma de “preencher” a lacuna, essa descontinuidade também é não removível.

Resposta

A função apresenta descontinuidades em e , ambas não removíveis.

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<html><head></head><body><div>Encontre a função inversa das funções, seus respectivos domínios e imagens. <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.335ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 7662 1000”><title>u(x) = ln(2x + 6)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D462” d=“M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(572,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 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374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(7273,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Construa por meio de rotações e translações o gráfico das funções <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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