Encontre as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso:

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Vamos ver como identificar essas assíntotas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida, ou seja, qual é o domínio dela. Como temos uma raiz quadrada no denominador, a expressão dentro dela precisa ser maior que zero para que dê um número real. Então, vamos resolver:
Isso significa que , ou seja, . Assim, o domínio da função é ou .

Passo 3

Agora que sabemos o domínio, vamos procurar possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função fica indefinida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos ver onde o denominador é igual a zero:
Então, e são candidatos a assíntotas verticais. Vamos verificar o comportamento da função perto desses pontos.

Passo 4

Quando se aproxima de 2 ou -2, o denominador se aproxima de zero, o que faz com que cresça sem limites (tende ao infinito). Portanto, temos assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular o limite de quando vai para e :
Então, a função tende a zero quando vai para ou . Isso significa que a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:

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