Encontre as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso:
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Vamos ver como identificar essas assíntotas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida, ou seja, qual é o domínio dela. Como temos uma raiz quadrada no denominador, a expressão dentro dela precisa ser maior que zero para que dê um número real. Então, vamos resolver:
Isso significa que
, ou seja,
. Assim, o domínio da função é
ou
.
Passo 3
Agora que sabemos o domínio, vamos procurar possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função fica indefinida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos ver onde o denominador
é igual a zero:
Então,
e
são candidatos a assíntotas verticais. Vamos verificar o comportamento da função perto desses pontos.
Passo 4
Quando
se aproxima de 2 ou -2, o denominador
se aproxima de zero, o que faz com que
cresça sem limites (tende ao infinito). Portanto, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular o limite de
quando
vai para
e
:
Então, a função tende a zero quando
vai para
ou
. Isso significa que a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
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que tornam a função
contínua no intervalo
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