Encontre as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o de assíntotas de funções, que nos ajuda a entender o comportamento do gráfico da função quando o vai para certos valores ou para infinito. Vamos precisar saber identificar onde a função pode ter comportamentos extremos, como pontos onde a função cresce sem limites ou se estabiliza.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, geralmente porque o denominador de uma fração se anula. Olhando para a nossa função , vemos que o denominador é .
Para encontrar onde a função não está definida, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo isso:
Então, é o ponto onde a função não está definida, o que pode indicar uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos confirmar se é realmente uma assíntota vertical. Observamos o comportamento da função quando se aproxima de 0 por valores positivos e negativos.
Se se aproxima de 0 por valores positivos:
E se se aproxima de 0 por valores negativos:
Como a função tende ao infinito de ambos os lados quando se aproxima de 0, isso confirma que é uma assíntota vertical.
Passo 4
Agora vamos identificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando vai para ou .
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
E também quando tende a menos infinito:
Portanto, a função se aproxima de 1 quando vai para ou , indicando que é uma assíntota horizontal.