Encontre as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de assíntotas de funções, que nos ajuda a entender o comportamento do gráfico da função quando o
vai para certos valores ou para infinito. Vamos precisar saber identificar onde a função pode ter comportamentos extremos, como pontos onde a função cresce sem limites ou se estabiliza.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, geralmente porque o denominador de uma fração se anula. Olhando para a nossa função
, vemos que o denominador é
.
Para encontrar onde a função não está definida, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo isso:
Então,
é o ponto onde a função não está definida, o que pode indicar uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos confirmar se
é realmente uma assíntota vertical. Observamos o comportamento da função quando
se aproxima de 0 por valores positivos e negativos.
Se
se aproxima de 0 por valores positivos:
E se
se aproxima de 0 por valores negativos:
Como a função tende ao infinito de ambos os lados quando
se aproxima de 0, isso confirma que
é uma assíntota vertical.
Passo 4
Agora vamos identificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
E também quando
tende a menos infinito:
Portanto, a função se aproxima de 1 quando
vai para
ou
, indicando que
é uma assíntota horizontal.
Resposta
A função
possui:
- Assíntota vertical em
- Assíntota horizontal em