Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
[ccc-2 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os valores próprios (autovalores) resolvendo o determinante da matriz igual a zero e, em seguida, encontrar os vetores próprios (autoespaços) associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = -2 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 :
det(A - lambda I) = 0
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = -2 - lambda & 0 & 1 1 & -lambda & -1 0 & 1 & -1 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det -lambda & -1 1 & -1 - lambda - 0 + 1 cdot det 1 & -lambda 0 & 1
Vamos simplificar cada determinante:
det -lambda & -1 1 & -1 - lambda = (-lambda)(-1 - lambda) - (-1)(1) = lambda(1 + lambda) + 1 = lambda + lambda^2 + 1
det 1 & -lambda 0 & 1 = (1)(1) - (-lambda)(0) = 1

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(lambda^2 + lambda + 1) + 1 cdot 1
= (-2 - lambda)(lambda^2 + lambda + 1) + 1
Vamos expandir o produto:
= -2(lambda^2 + lambda + 1) - lambda(lambda^2 + lambda + 1) + 1
= -2lambda^2 - 2lambda - 2 - lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
= -lambda^3 - 3lambda^2 - 3lambda - 1
Então, a equação característica é:
-lambda^3 - 3lambda^2 - 3lambda - 1 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 1 (o termo constante) sobre os divisores de 1 (o coeficiente líder). Então, as possíveis raízes são (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos realizar a divisão polinomial para fatorar a equação.

Passo 7

Dividindo o polinômio (lambda + 1)(lambda^2 + 2lambda + 1) = 0 por lambda = -2 pm raiz4 - 42 = -2 pm 02 = -1 :
Usando a divisão sintética:
-1 | 1 3 3 1
 |  -1 -2 -1
 ---------------
 1 2 1 0
Então, o polinômio fatorado é:
lambda = -1 (com mu
Agora, vamos resolver :
Então, todos os autovalores são:

Passo 8

Agora que encontramos o autovalor (A - lambda I)v = 0 , vamos encontrar os autoespaços correspondentes. Isso significa encontrar os vetores A - (-1)I = A + I = -2 + 1 & 0 & 1 1 & 0 + 1 & -1 0 & 1 & -1 + 1 = -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 não nulos que satisfazem:
- v1 + v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0 v2 = 0
Substituindo :
Então, precisamos resolver o sistema:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: v1 - v3 = 0 implies v1 = v3
Substituindo - v1 + v3 = 0 implies -v1 + v1 = 0 implies 0 = 0 na segunda equação:
v = v1 0 v1 = v1 1 0 1
Da primeira equa�o:
Então, os vetores próprios têm a forma:
Onde é um escalar qualquer diferente de zero.

Resposta

O único autovalor da matriz é 1 0 1 com multiplicidade 3. O autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

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