Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os valores próprios (autovalores) resolvendo o determinante da matriz igual a zero e, em seguida, encontrar os vetores próprios (autoespaços) associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Vamos simplificar cada determinante:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos expandir o produto:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 1 (o termo constante) sobre os divisores de 1 (o coeficiente líder). Então, as possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos realizar a divisão polinomial para fatorar a equação.
Passo 7
Dividindo o polinômio por :
Usando a divisão sintética:
-1 | 1 3 3 1
| -1 -2 -1
---------------
1 2 1 0
Então, o polinômio fatorado é:
Agora, vamos resolver :
Então, todos os autovalores são:
Passo 8
Agora que encontramos o autovalor , vamos encontrar os autoespaços correspondentes. Isso significa encontrar os vetores não nulos que satisfazem:
Substituindo :
Então, precisamos resolver o sistema:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Da primeira equa�o:
Então, os vetores próprios têm a forma:
Onde é um escalar qualquer diferente de zero.
Resposta
O único autovalor da matriz é com multiplicidade 3. O autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.