Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os valores próprios (autovalores) resolvendo o determinante da matriz igual a zero e, em seguida, encontrar os vetores próprios (autoespaços) associados a cada autovalor.
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 1 (o termo constante) sobre os divisores de 1 (o coeficiente líder). Então, as possíveis raízes são (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos realizar a divisão polinomial para fatorar a equação.
Agora que encontramos o autovalor (A - lambda I)v = 0 , vamos encontrar os autoespaços correspondentes. Isso significa encontrar os vetores A - (-1)I = A + I = -2 + 1 & 0 & 1 1 & 0 + 1 & -1 0 & 1 & -1 + 1 = -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 não nulos que satisfazem:
- v1 + v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0 v2 = 0
Substituindo :
Então, precisamos resolver o sistema:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: v1 - v3 = 0 implies v1 = v3
Substituindo - v1 + v3 = 0 implies -v1 + v1 = 0 implies 0 = 0 na segunda equação:
v = v1 0 v1 = v1 1 0 1
Da primeira equa�o:
Então, os vetores próprios têm a forma:
Onde é um escalar qualquer diferente de zero.
Resposta
O único autovalor da matriz é 1 0 1 com multiplicidade 3. O autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.