Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e as autofunções de um problema de valores de contorno. A equação diferencial dada é:
E as condições de contorno são:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e condições de contorno. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções:
-
: As soluções serão funções trigonométricas (seno e cosseno). -
: A equação se simplifica para , cuja solução é uma função linear. -
: As soluções serão exponenciais.
Vamos considerar cada caso separadamente.
Passo 3
Caso 1:
A equação fica:
A solução geral é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicando a primeira condição de contorno
:
Então,
, e a solução simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Aplicando
:
Para que isso seja zero, precisamos que:
Passo 6
A equação
se satisfaz quando:
Simplificando:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as autofunções correspondentes. Com
e
, a solução fica:
Nós podemos escolher
para normalizar as funções, mas geralmente deixamos
como 1 para simplificação. Portanto, as autofunções são:
Resposta
Os autovalores são
para
e as autofunções correspondentes são
.