encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado: y'' + lambda y = 0, y(0) = 0, y''(pi) = 0çõ

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e as autofunções de um problema de valores de contorno. A equação diferencial dada é:
E as condições de contorno são:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e condições de contorno. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
Dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de soluções:
  1. : As soluções serão funções trigonométricas (seno e cosseno).
  2. : A equação se simplifica para , cuja solução é uma função linear.
  3. : As soluções serão exponenciais.
Vamos considerar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1:
A equação fica:
A solução geral é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicando a primeira condição de contorno :
Então, , e a solução simplifica para:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno .
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Aplicando :
Para que isso seja zero, precisamos que:

Passo 6

A equação se satisfaz quando:
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as autofunções correspondentes. Com e , a solução fica:
Nós podemos escolher para normalizar as funções, mas geralmente deixamos como 1 para simplificação. Portanto, as autofunções são:

Resposta

Os autovalores são para e as autofunções correspondentes são .

Exercícios relacionados