Resolva o problema de valor inicial para
em que
Passo 1
Beleza, você quer resolver um problema de valor inicial para a função
. O que isso significa é que temos uma equação diferencial que nos dá a derivada de
em relação a
, e precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e também passa por um ponto específico, que nesse caso é
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. Antes de integrar, vamos simplificar a expressão no lado direito:
Agora, a equação fica:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar depois.
Passo 3
Vamos calcular as integrais separadamente:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Calculando os termos:
Substituindo:
Isolando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: