Resolva o problema de valor inicial para y = f(x)
dy/dx = (x + 1) / raiz(x) em que y(4) = 5

Passo 1

Beleza, você quer resolver um problema de valor inicial para a função . O que isso significa é que temos uma equação diferencial que nos dá a derivada de em relação a , e precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e também passa por um ponto específico, que nesse caso é . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a . Antes de integrar, vamos simplificar a expressão no lado direito:
Agora, a equação fica:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 3

Vamos calcular as integrais separadamente:
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e na equação:
Calculando os termos:
Substituindo:
Isolando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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