Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, usar isso para determinar as equações das retas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor de quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos derivar usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :
Portanto, a equação da reta tangente é .
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que as inclinações de retas perpendiculares são negativas inversas. Então:
Passo 7
Usando a inclinação da reta normal e o mesmo ponto de tangência , aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Portanto, a equação da reta normal é .
Resposta
A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .