Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada: y = 1/(1 + x^2) ; x = -1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, usar isso para determinar as equações das retas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos derivar usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que as inclinações de retas perpendiculares são negativas inversas. Então:

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal e o mesmo ponto de tangência , aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Portanto, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

Exercícios relacionados