Encontre os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada:
Esse problema faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes, resolver equações características e encontrar vetores que satisfazem certas equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz dada e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Igualando o determinante a zero para encontrar
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada
, resolvemos a equação:
onde
é o autovetor.
Passo 6
Para
:
Montamos :
Montamos
Resolvemos:
Isso simplifica para
, então
. Vamos escolher
livremente, por exemplo,
. Assim, o autovetor é:
Passo 7
Para
:
Montamos :
Montamos
Resolvemos:
Isso simplifica para
, ou seja,
. Vamos escolher
, então
. O autovetor é:
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
. Os autovetores correspondentes são: