Encontre os autovalores e autovetores da matriz
[cc -1 & 6 0 & 5 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada:
[cc -1 & 6 0 & 5 ]
Esse problema faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes, resolver equações características e encontrar vetores que satisfazem certas equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = [cc -1 - lambda & 6 0 & 5 - lambda ] :
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(5 - lambda) - (6 times 0) = (-1 - lambda)(5 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar (-1 - lambda)(5 - lambda) = 0 :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
onde é o autovetor.

Passo 6

Para A + I = [cc -1 + 1 & 6 0 & 5 + 1 ] = [cc 0 & 6 0 & 6 ] :
Montamos 0 cdot v1 + 6 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 6 cdot v2 = 0 :
v1 = 1 0
Resolvemos:
Isso simplifica para , então . Vamos escolher livremente, por exemplo, . Assim, o autovetor é:

Passo 7

Para A - 5I = [cc -1 - 5 & 6 0 & 5 - 5 ] = [cc -6 & 6 0 & 0 ] :
Montamos -6v1 + 6v2 = 0 :
v2 = 1 1
Resolvemos:
Isso simplifica para , ou seja, . Vamos escolher , então . O autovetor é:

Resposta

Os autovalores da matriz são v1 = 1 0 e v2 = 1 1 e . Os autovetores correspondentes são:

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