Encontre os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz dada,
é a matriz identidade, e
representa os autovalores.
Passo 3
Subtraindo
na diagonal principal da matriz
, temos:
$$
A - \lambda I =
$$
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Então, a equação característica fica:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para encontrar
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
$$
$$
Isso dá as equações:
Simplificando a segunda equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Podemos escolher
, então:
Passo 7
Para
:
Resolvemos
:
$$
$$
Isso dá as equações:
A segunda equação é redundante, então usamos a primeira:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Podemos escolher
, então:
Resposta
Os autovalores são
e
, com seus respectivos autovetores: