Encontre os autovalores e autovetores da matriz
[ll 0 & 2 2 & 3 ]

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
0 & 2 2 & 3
Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz dada, é a matriz identidade, e representa os autovalores.

Passo 3

Subtraindo A - lambda I = 0 - lambda & 2 2 & 3 - lambda = -lambda & 2 2 & 3 - lambda na diagonal principal da matriz , temos:

$$
A - \lambda I =

$$

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda)(3 - lambda) - (2 cdot 2) = -3lambda + lambda^2 - 4
Então, a equação característica fica:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para encontrar lambda^2 - 3lambda - 4 = 0 :
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 3 + 52 = 4 lambda2 = 3 - 52 = -1
Então, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para -4 & 2 2 & -1 x y = 0 0 :
Resolvemos -4x + 2y = 0 2x - y = 0 :

$$
y = 2x
v1 = x 2x = x 1 2

v1 = 1 2
$$
Isso dá as equações:
Simplificando a segunda equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Podemos escolher , então:

Passo 7

Para 1 & 2 2 & 4 x y = 0 0 :
Resolvemos x + 2y = 0 2x + 4y = 0 :

$$
x = -2y
v2 = -2y y = y -2 1

v2 = -2 1
$$
Isso dá as equações:
A segunda equação é redundante, então usamos a primeira:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores são v1 = 1 2 , v2 = -2 1 e , com seus respectivos autovetores:

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