Mostre que qualquer projetor P satisfaz a equação P^2=P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer projetor $ P $ satisfaz a equação $ P^{2} = P $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um projetor na álgebra linear e usar algumas propriedades básicas de matrizes ou transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um projetor. Um projetor é uma transformação linear que, quando aplicada duas vezes, dá o mesmo resultado que se fosse aplicada uma vez. Ou seja, se você aplicar o projetor $ P $ em um vetor $ v $ e depois aplicar $ P $ novamente, o resultado não muda. Matemáticamente, isso é escrito como:
P

Passo 3

Agora, vamos traduzir essa ideia para a linguagem das matrizes. A expressão $ P(P(v)) $ pode ser escrita como $ P \cdot P(v) $, que é a mesma coisa que $ P^2(v) $. Então, temos:
P(P(v))
Isso significa que, para todo vetor $ v $, aplicar $ P $ duas vezes é igual a aplicar uma vez.

Passo 4

Como isso vale para qualquer vetor $ v $ no espaço, podemos afirmar que a igualdade se mantém para a própria matriz $ P $. Assim, temos a equação matricial:
v
Isso mostra que a matriz $ P $, sendo um projetor, satisfaz a condição de que o quadrado dela é igual a ela mesma.

Resposta

Qualquer projetor $ P $ satisfaz a equação $ P^{2} = P $.

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