Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos determinados pelos seguintes pontos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica no espaço, como vetores e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para descobrir a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos , e . Para isso, podemos subtrair as coordenadas dos pontos para obter esses vetores.
O vetor é dado por:
E o vetor é:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial .
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -4:
Passo 4
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 2(x - 3) -1(y - 2) + 3(z - 1) = 0 , podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral é:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação geral que encontramos:
2x - 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0
2x - y + 3z - 7 = 0
Então, a equação geral do plano é:
2x - y + 3z = 7
Passo 6
Agora, vamos às equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos expressar x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz , x = 3 + s(-2) + t(-3) y = 2 + s(-4) + t(0) z = 1 + s(0) + t(2) e em função de dois parâmetros, geralmente e .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde e são os vetores diretores do plano. Nesse caso, podemos usar e como vetores diretores.