Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos determinados pelos seguintes pontos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica no espaço, como vetores e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para descobrir a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos , e . Para isso, podemos subtrair as coordenadas dos pontos para obter esses vetores.
O vetor é dado por:
E o vetor é:

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial .
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -4:

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto , podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral é:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação geral que encontramos:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 6

Agora, vamos às equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos expressar , e em função de dois parâmetros, geralmente e .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde e são os vetores diretores do plano. Nesse caso, podemos usar e como vetores diretores.
Então, usando o ponto , temos:

Passo 7

Simplificando as equações paramétricas:

Resposta

A equação geral do plano é:
E as equações paramétricas do plano são:

Exercícios relacionados

Encontre os valores de para que os vetores
sejam linearmente dependentes.
O ponto e o plano é paralelo aos vetores e . Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral do plano .
Encontre a matriz da transformação linear dada por
em relação às bases
do domínio e contradomínio, respectivamente.
Encontre os autovalores e autovetores do operador linear definido pela matriz
relativa às bases canônicas no domínio e contradomínio