Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos determinados pelos seguintes pontos:
A(3,2,1), B(1,-2,1), C(0,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica no espaço, como vetores e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para descobrir a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos AB = B - A = (1-3, -2-2, 1-1) = (-2, -4, 0) , AC = C - A = (0-3, 2-2, 3-1) = (-3, 0, 2) e . Para isso, podemos subtrair as coordenadas dos pontos para obter esses vetores.
O vetor é dado por:
E o vetor é:

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC = i & j & k -2 & -4 & 0 -3 & 0 & 2 e n = i(-4 cdot 2 - 0 cdot 0) - j(-2 cdot 2 - 0 cdot -3) + k(-2 cdot 0 - (-4) cdot -3) , vamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial n = i(-8) - j(-4) + k(0 - 12) = (-8, 4, -12) .
Calculando o produto vetorial:
n = (2, -1, 3)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -4:

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 2(x - 3) -1(y - 2) + 3(z - 1) = 0 , podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral é:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação geral que encontramos:
2x - 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0
2x - y + 3z - 7 = 0
Então, a equação geral do plano é:
2x - y + 3z = 7

Passo 6

Agora, vamos às equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos expressar x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz , x = 3 + s(-2) + t(-3) y = 2 + s(-4) + t(0) z = 1 + s(0) + t(2) e em função de dois parâmetros, geralmente e .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde e são os vetores diretores do plano. Nesse caso, podemos usar e como vetores diretores.
Então, usando o ponto , temos:

Passo 7

Simplificando as equações paramétricas:
x = 3 - 2s - 3t y = 2 - 4s z = 1 + 2t

Resposta

A equação geral do plano é:
2x - y + 3z = 7
E as equações paramétricas do plano são:
x = 3 - 2s - 3t y = 2 - 4s z = 1 + 2t

Exercícios relacionados