Encontre a matriz da transformação linear
dada por
em relação às bases
do domínio e contradomínio, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz correspondente à transformação linear
definida por
em relação às bases
do domínio e
do contradomínio. Vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação
em relação às bases
e
, precisamos determinar como
atua sobre os vetores da base
e expressar os resultados na base
.
Passo 3
Vamos considerar os vetores da base
:
Aplicamos a transformação
nesses vetores:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar os vetores
e
na base
, onde
Isso significa que buscamos coeficientes
tais que:
E coeficientes
tais que:
Passo 5
Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar
:
Para
:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Para
:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos os coeficientes:
Podemos montar a matriz da transformação
em relação às bases
e
:
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação às bases
e
é