Encontre a matriz da transformação linear dada por
em relação às bases
do domínio e contradomínio, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz correspondente à transformação linear definida por
em relação às bases do domínio e do contradomínio. Vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação em relação às bases e , precisamos determinar como atua sobre os vetores da base e expressar os resultados na base .

Passo 3

Vamos considerar os vetores da base :
Aplicamos a transformação nesses vetores:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores e na base , onde
Isso significa que buscamos coeficientes tais que:
E coeficientes tais que:

Passo 5

Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar :
Para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos os coeficientes:
Podemos montar a matriz da transformação em relação às bases e :

Resposta

A matriz da transformação linear em relação às bases e é

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