Encontre a matriz da transformação linear dada por
em relação às bases
do domínio e contradomínio, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz correspondente à transformação linear definida por
em relação às bases do domínio e do contradomínio. Vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação em relação às bases e , precisamos determinar como atua sobre os vetores da base e expressar os resultados na base .
Passo 3
Vamos considerar os vetores da base :
Aplicamos a transformação nesses vetores:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, precisamos expressar os vetores e na base , onde
Isso significa que buscamos coeficientes tais que:
E coeficientes tais que:
Passo 5
Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar :
Para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos os coeficientes:
Podemos montar a matriz da transformação em relação às bases e :
Resposta
A matriz da transformação linear em relação às bases e é