Encontre a matriz da transformação linear T: R^2 R^2 dada por
T(x, y)=(-2 x+5 y, 2 x)
em relação às bases
beta1=(1,1),(2,1) e beta2=(1,-2),(2,-1)
do domínio e contradomínio, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz correspondente à transformação linear T(x, y) = (-2x + 5y,, 2x) definida por
em relação às bases do domínio e do contradomínio. Vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação em relação às bases e , precisamos determinar como atua sobre os vetores da base e expressar os resultados na base .

Passo 3

Vamos considerar os vetores da base v1 = (1,1) e v2 = (2,1) :
T(v1) = T(1,1) = (-2 cdot 1 + 5 cdot 1,, 2 cdot 1) = (3,, 2)
Aplicamos a transformação T(v2) = T(2,1) = (-2 cdot 2 + 5 cdot 1,, 2 cdot 2) = (1,, 4) nesses vetores:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores w1 = (1, -2) e w2 = (2, -1) e (3, 2) = a cdot w1 + b cdot w2 = a(1, -2) + b(2, -1) = (a + 2b, -2a - b) na base (1, 4) = c cdot w1 + d cdot w2 = c(1, -2) + d(2, -1) = (c + 2d, -2c - d) , onde
Isso significa que buscamos coeficientes tais que:
E coeficientes tais que:

Passo 5

Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar a + 2b = 3 -2a - b = 2 :
Para -4a - 2b = 4 :
(a + 2b) + (-4a - 2b) = 3 + 4 -3a = 7 Rightarrow a = -73
Multiplicando a segunda equação por 2:
-73 + 2b = 3 Rightarrow 2b = 3 + 73 = 163 Rightarrow b = 83
Somando com a primeira equação:
c + 2d = 1 -2c - d = 4
Substituindo -4c - 2d = 8 na primeira equação:
(c + 2d) + (-4c - 2d) = 1 + 8 -3c = 9 Rightarrow c = -3
Para -3 + 2d = 1 Rightarrow 2d = 4 Rightarrow d = 2 :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos os coeficientes:
a = -73, b = 83, c = -3, d = 2
Podemos montar a matriz da transformação [T]beta2^beta1 = a & c b & d = -73 & -3 83 & 2 em relação às bases e :

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta2^beta1 = -dfrac73 & -3 dfrac83 & 2 em relação às bases e é

Exercícios relacionados