Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g^-1(R-^*)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 definida por partes:
O que a gente precisa encontrar é o conjunto . Isso significa que queremos todos os valores de tais que seja um número real negativo. Vamos usar conceitos de funções inversas e resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto dos valores de que, quando aplicamos a função , resultam em números negativos. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que .

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Vamos verificar em cada intervalo onde .

Passo 4

Primeiro Intervalo: x^3 < 2 implies x < raiz[3]2 approx 1,26
Aqui, .
Queremos
Vamos resolver essa inequação:
Mas lembrando que estamos no intervalo , então todos os satisfazem . Portanto, nesse intervalo, todos os tornam negativo.

Passo 5

Segundo Intervalo: raizx + 1 >= 0
Aqui, .
Queremos .
Mas a raiz quadrada de qualquer número real não negativo é sempre não negativa. Então:
Isso significa que não há valores de nesse intervalo que tornem negativo.

Passo 6

Terceiro Intervalo: x - 2 < 0 implies x < 2
Aqui, .
Queremos .
Uma fração é negativa quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. O numerador aqui é 1, que é positivo. Então, para que a fração seja negativa, o denominador deve ser negativo:
Mas estamos considerando . Não há valores de nesse intervalo que satisfaçam . Portanto, não há que tornem negativo.

Passo 7

Resumo dos Intervalos:
  • :
  • :
  • :
Portanto, o conjunto de todos os que fazem ser negativo é .

Resposta

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