Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 definida por partes:
O que a gente precisa encontrar é o conjunto . Isso significa que queremos todos os valores de tais que seja um número real negativo. Vamos usar conceitos de funções inversas e resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto dos valores de que, quando aplicamos a função , resultam em números negativos. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que .
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função :
Para :
Para :
Para :
Vamos verificar em cada intervalo onde .
Passo 4
Primeiro Intervalo: x^3 < 2 implies x < raiz[3]2 approx 1,26
Aqui, .
Queremos
Vamos resolver essa inequação:
Mas lembrando que estamos no intervalo , então todos os satisfazem . Portanto, nesse intervalo, todos os tornam negativo.
Passo 5
Segundo Intervalo: raizx + 1 >= 0
Aqui, .
Queremos .
Mas a raiz quadrada de qualquer número real não negativo é sempre não negativa. Então:
Isso significa que não há valores de nesse intervalo que tornem negativo.
Passo 6
Terceiro Intervalo: x - 2 < 0 implies x < 2
Aqui, .
Queremos .
Uma fração é negativa quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. O numerador aqui é 1, que é positivo. Então, para que a fração seja negativa, o denominador deve ser negativo:
Mas estamos considerando . Não há valores de nesse intervalo que satisfaçam . Portanto, não há que tornem negativo.
Passo 7
Resumo dos Intervalos:
:
:
:
Portanto, o conjunto de todos os que fazem ser negativo é .