Encontre a e b tais que o vetor 5, a, b seja ortogonal ao vetores (1, 2, 3) e 1, -2, 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os valores de e tais que o vetor seja ortogonal aos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de ortogonalidade entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto interno (ou produto escalar) entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o seu produto interno for igual a zero. O produto interno de dois vetores e é calculado assim:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para garantir que o vetor seja ortogonal aos dois vetores dados. Primeiro, com o vetor :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, aplicamos o produto interno com o segundo vetor :
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos o valor de na Equação 2 para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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