Expresse
integral triplaS raizy d V
onde S é o sólido delimitado pelas superfícies z=0, z=x+y+5, x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9, como integrais iteradas.

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito! Queremos calcular a integral tripla de raizy sobre o sólido S, que é delimitado pelas superfícies z=0, z=x+y+5, x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas apropriadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região S. As equações x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 representam cilindros circulares com raios 2 e 3, respectivamente. A superfície z=0 é o plano xy, e z=x+y+5 é um plano inclinado acima do plano xy. Assim, o sólido S está localizado entre os cilindros de raio 2 e 3 e entre os planos z=0 e z=x+y+5.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos utilizar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume vira:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • Para r: varia de 2 a 3 (entre os cilindros).
  • Para theta: varia de 0 a 2pi (ângulo completo ao redor do eixo z).
  • Para z: varia de 0 a x + y + 5. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
z = r costheta + r sintheta + 5 = r(costheta + sintheta) + 5

Passo 5

Vamos reescrever a função que estamos integrando, raizy, em coordenadas cilíndricas:
raizy = raizr sintheta
Então, a integral tripla fica:
integral triplaS raizy , dV = integral0^2pi integral2^3 integral0^r(costheta + sintheta) + 5 raizr sintheta cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em z primeiro. Como a expressão a ser integrada não depende de z, a integral em z é simplesmente a diferença dos limites de integração:
integral0^r(costheta + sintheta) + 5 dz = r(costheta + sintheta) + 5

Passo 7

Substituindo isso na integral, temos:
integral0^2pi integral2^3 raizr sintheta cdot r cdot [r(costheta + sintheta) + 5] , dr , dtheta

Passo 8

Para finalizar, precisaríamos resolver as integrais em r e theta. Dependendo do nível de conhecimento, isso pode envolver substituições trigonométricas ou métodos numéricos. O importante é que agora a integral está organizada de forma iterada, facilitando seu cálculo passo a passo.

Resposta

A integral tripla integral triplaS raizy , dV expressa como integrais iteradas em coordenadas cilíndricas é:
integral0^2pi integral2^3 integral0^r(costheta + sintheta) + 5 raizr sintheta cdot r , dz , dr , dtheta

Exercícios relacionados