Expresse
onde
é o sólido delimitado pelas superfícies
e
, como integrais iteradas.
Passo 1
Vamos entender o que precisa ser feito! Queremos calcular a integral tripla de
sobre o sólido
, que é delimitado pelas superfícies
,
,
e
. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas apropriadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As equações
e
representam cilindros circulares com raios 2 e 3, respectivamente. A superfície
é o plano xy, e
é um plano inclinado acima do plano xy. Assim, o sólido
está localizado entre os cilindros de raio 2 e 3 e entre os planos
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos utilizar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume vira:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
- Para
: varia de 2 a 3 (entre os cilindros). - Para
: varia de 0 a (ângulo completo ao redor do eixo z). - Para
: varia de 0 a . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 5
Vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro. Como a expressão a ser integrada não depende de
, a integral em
é simplesmente a diferença dos limites de integração:
Passo 7
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 8
Para finalizar, precisaríamos resolver as integrais em
e
. Dependendo do nível de conhecimento, isso pode envolver substituições trigonométricas ou métodos numéricos. O importante é que agora a integral está organizada de forma iterada, facilitando seu cálculo passo a passo.
Resposta
A integral tripla
expressa como integrais iteradas em coordenadas cilíndricas é: