Qual par de vetores seguintes:
a=i-3 j-k, b=i+j+2 k, c=-2 i-j+k, d=-i-j+k
Tem um ângulo menor do que pi / 2 entre si?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem quatro vetores e precisa descobrir quais pares deles formam um ângulo menor que 90 graus (ou pi/2 radianos) entre si. Para isso, vamos usar o produto escalar entre vetores. Se o produto escalar entre dois vetores for positivo, significa que o ângulo entre eles é agudo, ou seja, menor que pi/2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores u = u1 i + u2 j + u3 k e v = v1 i + v2 j + v3 k, o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Se o resultado for positivo, o ângulo entre u e v é menor que pi/2.

Passo 3

Agora, vamos identificar todos os pares possíveis de vetores e calcular o produto escalar para cada um deles. Temos os vetores:
a = i - 3 j - k
b = i + j + 2 k
c = -2 i - j + k
d = -i - j + k
Os pares possíveis são:
  1. a e b
  2. a e c
  3. a e d
  4. b e c
  5. b e d
  6. c e d
Vamos calcular o produto escalar para cada par:
  1. a cdot b
(1)(1) + (-3)(1) + (-1)(2) = 1 - 3 - 2 = -4
  1. a cdot c
(1)(-2) + (-3)(-1) + (-1)(1) = -2 + 3 - 1 = 0
  1. a cdot d
(1)(-1) + (-3)(-1) + (-1)(1) = -1 + 3 - 1 = 1
  1. b cdot c
(1)(-2) + (1)(-1) + (2)(1) = -2 -1 + 2 = -1
  1. b cdot d
(1)(-1) + (1)(-1) + (2)(1) = -1 -1 + 2 = 0
  1. c cdot d
(-2)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4

Resposta

Os pares de vetores que têm um ângulo menor que pi/2 entre si são:
  • a e d
  • c e d

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