Qual par de vetores seguintes:
a=i-3 j-k, b=i+j+2 k, c=-2 i-j+k, d=-i-j+k
Tern um ângulo maior do que pi / 2 entre si?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta qual par de vetores, entre os vetores a, b, c e d, forma um ângulo maior que pi/2 (ou seja, maior que 90 graus) entre si. Para resolver isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores. Quando o produto escalar de dois vetores é negativo, isso significa que o ângulo entre eles é maior que 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k, o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Vamos calcular o produto escalar para todos os pares possíveis de vetores.

Passo 3

Vamos identificar todos os pares de vetores:
  1. a e b
  2. a e c
  3. a e d
  4. b e c
  5. b e d
  6. c e d
Agora, vamos calcular o produto escalar para cada par:
  1. a cdot b:
    (1)(1) + (-3)(1) + (-1)(2) = 1 - 3 - 2 = -4
  2. a cdot c:
    (1)(-2) + (-3)(-1) + (-1)(1) = -2 + 3 - 1 = 0
  3. a cdot d:
    (1)(-1) + (-3)(-1) + (-1)(1) = -1 + 3 - 1 = 1
  4. b cdot c:
    (1)(-2) + (1)(-1) + (2)(1) = -2 - 1 + 2 = -1
  5. b cdot d:
    (1)(-1) + (1)(-1) + (2)(1) = -1 - 1 + 2 = 0
  6. c cdot d:
    (-2)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4

Passo 4

Agora, vamos analisar os resultados dos produtos escalares:
  1. a cdot b = -4 → Negativo
  2. a cdot c = 0 → Igual a zero
  3. a cdot d = 1 → Positivo
  4. b cdot c = -1 → Negativo
  5. b cdot d = 0 → Igual a zero
  6. c cdot d = 4 → Positivo
Os produtos escalares negativos indicam que o ângulo entre os vetores é maior que 90 graus.

Resposta

Os pares de vetores que têm um ângulo maior que pi/2 entre si são a e b, além de b e c.

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