(Uece 2010) O conjugado, barz, do número complexo z =x+i y, com x e y números reais, é definido por barz=x-i y. Identificando o número complexo z=x+ iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que a conjunto dos números complexos z que satisfazem a relaçåo z barz+z+barz=0 eståo sobre :
a) uma reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre números complexos, mais especificamente sobre o conjugado de um número complexo e uma equação que relaciona eles. O que a gente precisa fazer é descobrir quais números complexos satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de números complexos e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjugado de um número complexo. Se , então o conjugado . Isso significa que, para encontrar o conjugado, a gente só troca o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos substituir zbarz + z + barz = 0 e (x + iy)(x - iy) + (x + iy) + (x - iy) = 0 na equação dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte da equação:
  • x^2 + y^2 + 2x = 0 porque .
  • .
Então, a equação fica:

Passo 5

Essa é uma equação do segundo grau em x^2 + 2x + y^2 = 0 e (x^2 + 2x + 1) + y^2 = 1 . Para identificar que tipo de curva ela representa, vamos completar o quadrado para (x + 1)^2 + y^2 = 1 :
Adicionando e subtraindo 1:
Isso fica:

Passo 6

A equação é a equação de uma circunferência com centro no ponto (-1, 0) e raio 1 no plano cartesiano.

Resposta

Os números complexos que satisfazem a relação dada estão sobre uma circunferência no plano cartesiano com centro em (-1, 0) e raio 1.

Exercícios relacionados