Encontre uma base de autovetores de
.
Seja
um operador linear dado pela matriz
no sistema de coordenadas padrão:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base de autovetores da matriz
. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de
e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores (
) são encontrados resolvendo a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de
:
Passo 5
Vamos expandir a expressão:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Passo 8
Primeiro, para
:
Resolvendo
:
Portanto, um autovetor associado a
é:
Passo 9
Agora, para
:
Resolvendo
:
Então, um autovetor associado a
é:
Resposta
Uma base de autovetores de
é formada por: