Encontre uma base de autovetores de A.
Seja T: R^2 R^2 um operador linear dado pela matriz A no sistema de coordenadas padrão:
A=(ll 4 & 1 2 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base de autovetores da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (4 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = 0 :
(4 - lambda)(3 - lambda) - 2 = 0

Passo 5

Vamos expandir a expressão:
(4)(3) - 4lambda - 3lambda + lambda^2 - 2 = 0
12 - 7lambda + lambda^2 - 2 = 0
lambda^2 - 7lambda + 10 = 0

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática lambda = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm raiz92 = 7 pm 32 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 7 + 32 = 5 e lambda2 = 7 - 32 = 2
Então, os autovalores são:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 8

Primeiro, para A - 5I = 4 - 5 & 1 2 & 3 - 5 = -1 & 1 2 & -2 :
- v1 + v2 = 0 implies v2 = v1
Resolvendo v1 = 1 1 :
Portanto, um autovetor associado a é:

Passo 9

Agora, para A - 2I = 4 - 2 & 1 2 & 3 - 2 = 2 & 1 2 & 1 :
2v1 + v2 = 0 implies v2 = -2v1
Resolvendo v2 = 1 -2 :
Então, um autovetor associado a é:

Resposta

Uma base de autovetores de , 1 1 , 1 -2 , é formada por:

Exercícios relacionados