Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial
:
(b) Mostre que
, quaisquer que sejam
.
(b) Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que, em um espaço vetorial
, para qualquer escalar
e vetor
, a igualdade
é verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de espaços vetoriais, especificamente com a operação de multiplicação por escalar e o inverso aditivo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, para cada vetor
, existe um vetor
tal que
, onde
é o vetor nulo. Além disso, a multiplicação por escalar
é uma operação que combina um escalar
com um vetor
para produzir outro vetor no espaço vetorial.
Passo 3
Queremos provar que multiplicar o inverso aditivo de
por
é o mesmo que tomar o inverso aditivo do resultado da multiplicação de
por
. Matematicamente, isto é
. Vamos aplicar as propriedades da multiplicação por escalar e do inverso aditivo para verificar isso.
Passo 4
Sabemos que a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de vetores, ou seja,
. Também sabemos que
, onde
é o vetor nulo.
Passo 5
Considerando que
, multiplicando ambos os lados por
, temos:
Aplicando a distribuição:
Isso significa que
é o inverso aditivo de
, ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que
para qualquer escalar
e vetor
.