Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial (V, oplus, odot) :
(b) Mostre que alpha odot(-u)=-(alpha odot u), quaisquer que sejam alpha in K, u in V.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que, em um espaço vetorial (V, oplus, odot), para qualquer escalar alpha in K e vetor u in V, a igualdade alpha odot (-u) = -(alpha odot u) é verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de espaços vetoriais, especificamente com a operação de multiplicação por escalar e o inverso aditivo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, para cada vetor u, existe um vetor -u tal que u oplus (-u) = 0, onde 0 é o vetor nulo. Além disso, a multiplicação por escalar alpha odot u é uma operação que combina um escalar alpha com um vetor u para produzir outro vetor no espaço vetorial.

Passo 3

Queremos provar que multiplicar o inverso aditivo de u por alpha é o mesmo que tomar o inverso aditivo do resultado da multiplicação de u por alpha. Matematicamente, isto é alpha odot (-u) = -(alpha odot u). Vamos aplicar as propriedades da multiplicação por escalar e do inverso aditivo para verificar isso.

Passo 4

Sabemos que a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de vetores, ou seja, alpha odot (u oplus v) = alpha odot u oplus alpha odot v. Também sabemos que alpha odot 0 = 0, onde 0 é o vetor nulo.

Passo 5

Considerando que u oplus (-u) = 0, multiplicando ambos os lados por alpha, temos:
alpha odot (u oplus (-u)) = alpha odot 0 = 0
Aplicando a distribuição:
alpha odot u oplus alpha odot (-u) = 0
Isso significa que alpha odot (-u) é o inverso aditivo de alpha odot u, ou seja:
alpha odot (-u) = -(alpha odot u)

Resposta

Portanto, mostramos que alpha odot (-u) = -(alpha odot u) para qualquer escalar alpha in K e vetor u in V.

Exercícios relacionados