Use a base de autovetores para diagonalizar a matriz .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para diagonalizar a matriz usando uma base de autovetores. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que nos ajudam a simplificar matrizes complexas. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores de , depois os autovetores correspondentes e, por fim, montar a matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo:

Passo 4

Resolvemos a equação característica . Vamos fatorar:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .

Substituímos na equação :
[



]
Isso nos dá as equações:
Podemos definir , então . Assim, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, para , fazemos:
[



]
Isso resulta em:
Definindo , temos . Então, um autovetor para é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos montar a matriz diagonal e a matriz de autovetores :
Então, a matriz pode ser diagonalizada como .

Resposta

A diagonalização da matriz usando uma base de autovetores é:

Exercícios relacionados

Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial :
(b) Mostre que , quaisquer que sejam .
Encontre uma base de autovetores de .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:
Sejam e espaços vetoriais sobre . Se e são transformações lineares, define-se a aplicação composta de e (notação: ) da seguinte maneira:
Mostre que é uma transformação linear
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .