Use a base de autovetores para diagonalizar a matriz
.
Seja
um operador linear dado pela matriz
no sistema de coordenadas padrão:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para diagonalizar a matriz
usando uma base de autovetores. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que nos ajudam a simplificar matrizes complexas. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores de
, depois os autovetores correspondentes e, por fim, montar a matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são os valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
A matriz
fica assim:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Passo 4
Resolvemos a equação característica
. Vamos fatorar:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Substituímos
na equação
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Podemos definir
, então
. Assim, um autovetor associado a
é
.
Passo 6
Agora, para
, fazemos:
[
]
Isso resulta em:
Definindo
, temos
. Então, um autovetor para
é
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos montar a matriz diagonal
e a matriz de autovetores
:
Então, a matriz
pode ser diagonalizada como
.
Resposta
A diagonalização da matriz
usando uma base de autovetores é: