Use a base de autovetores para diagonalizar a matriz A.
Seja T: R^2 R^2 um operador linear dado pela matriz A no sistema de coordenadas padrão:
A=(ll 4 & 1 2 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para diagonalizar a matriz usando uma base de autovetores. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que nos ajudam a simplificar matrizes complexas. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores de , depois os autovetores correspondentes e, por fim, montar a matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda . Autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(3 - lambda) - (1)(2) = (4 - lambda)(3 - lambda) - 2
Expandindo:
= 12 - 4lambda - 3lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 7lambda + 10

Passo 4

Resolvemos a equação característica lambda^2 - 7lambda + 10 = (lambda - 2)(lambda - 5) = 0 . Vamos fatorar:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com 4 - 2 & 1 2 & 3 - 2 v1 v2 = 2 & 1 2 & 1 v1 v2 = 0 0 .

Substituímos 2v1 + v2 = 0 na equação 1 -2 :
[



]
Isso nos dá as equações:
Podemos definir , então . Assim, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, para 4 - 5 & 1 2 & 3 - 5 v1 v2 = -1 & 1 2 & -2 v1 v2 = 0 0 , fazemos:
[
- v1 + v2 = 0
1 1



]
Isso resulta em:
Definindo , temos . Então, um autovetor para é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos montar a matriz diagonal P = 1 & 1 -2 & 1 , D = 2 & 0 0 & 5 e a matriz de autovetores :
Então, a matriz pode ser diagonalizada como .

Resposta

A diagonalização da matriz A = P D P^-1, onde usando uma base de autovetores é:
P = 1 & 1 -2 & 1 , D = 2 & 0 0 & 5

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