Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços
e
para a transformação linear
, definida por
, em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão de dois subespaços relacionados à transformação linear
, definida por
, onde
é uma matriz específica. O conteúdo envolvido aqui é transformação linear, núcleo (ou nulidade) e imagem (ou alcance) de uma transformação. Vamos precisar entender como essas coisas funcionam para encontrar a base e a dimensão de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo
. O núcleo de
é o conjunto de todas as matrizes
tais que
. Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes que comutam com
.
Passo 3
Vamos escrever uma matriz genérica
em
:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
[
T(X) =
=
=
]
Passo 5
Para que
esteja no núcleo
, precisamos que
, ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da equação (1) e (3), temos que
.
Da equação (2), simplificando por 2,
.
Portanto, as matrizes no núcleo têm a forma:
Onde
e
são números reais livres.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para
. As matrizes no núcleo são determinadas pelos parâmetros
e
. Podemos expressar
como uma combinação linear de duas matrizes básicas:
Então, uma base para
é:
A dimensão de
é igual ao número de vetores na base, que é 2.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem
. A imagem de
é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como
para algum
em
.
Observando a forma de
que encontramos:
Podemos reescrever isso separando os termos:
Como
,
e
são variáveis livres, notamos que a imagem é gerada pelas matrizes:
No entanto, a terceira matriz é apenas um múltiplo da segunda, então não adiciona nada novo à base.
Passo 8
Portanto, uma base para
é:
A dimensão de
é 2, já que temos duas matrizes na base.
Resposta
A base de
é:
Com dimensão igual a 2.
A base de
é:
Com dimensão igual a 2.
Exercícios relacionados
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) ;
(e)
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b)
(b)
Seja
uma transformação linear.
(a) Suponha que é LI, mas
é LD. Mostre que
tem uma solução não-trivial.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre : se
é LI então
é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(a) Suponha que
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(b)
(b)