Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços N u(T) e Im(T) para a transformação linear T: R^2 times 2 R^2 times 2, definida por T(X)=M X-X M, em que
M=[ll 1 & 2 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão de dois subespaços relacionados à transformação linear , definida por , onde é uma matriz específica. O conteúdo envolvido aqui é transformação linear, núcleo (ou nulidade) e imagem (ou alcance) de uma transformação. Vamos precisar entender como essas coisas funcionam para encontrar a base e a dimensão de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo . O núcleo de é o conjunto de todas as matrizes tais que . Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes que comutam com .

Passo 3

Vamos escrever uma matriz genérica X = x11 & x12 x21 & x22 em MX = 1 & 2 0 & 1 x11 & x12 x21 & x22 = 1 cdot x11 + 2 cdot x21 & 1 cdot x12 + 2 cdot x22 0 cdot x11 + 1 cdot x21 & 0 cdot x12 + 1 cdot x22 = x11 + 2x21 & x12 + 2x22 x21 & x22 :
XM = x11 & x12 x21 & x22 1 & 2 0 & 1 = x11 cdot 1 + x12 cdot 0 & x11 cdot 2 + x12 cdot 1 x21 cdot 1 + x22 cdot 0 & x21 cdot 2 + x22 cdot 1 = x11 & 2x11 + x12 x21 & 2x21 + x22
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Agora, vamos calcular T(X) = x11 + 2x21 & x12 + 2x22 x21 & x22 - x11 & 2x11 + x12 x21 & 2x21 + x22 = ( x11 + 2x21 ) - x11 & (x12 + 2x22) - (2x11 + x12) x21 - x21 & x22 - (2x21 + x22) = 2x21 & 2x22 - 2x11 0 & -2x21 :
[
T(X) =


=
=
]

Passo 5

Para que 2x21 & 2x22 - 2x11 0 & -2x21 = 0 & 0 0 & 0 esteja no núcleo 2x21 = 0 (1) 2x22 - 2x11 = 0 (2) -2x21 = 0 (3) , precisamos que X = x11 & x12 0 & x11 , ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da equação (1) e (3), temos que .
Da equação (2), simplificando por 2, .
Portanto, as matrizes no núcleo têm a forma:
Onde e são números reais livres.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma base para X = x11 1 & 0 0 & 1 + x12 0 & 1 0 & 0 . As matrizes no núcleo são determinadas pelos parâmetros 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0 e . Podemos expressar como uma combinação linear de duas matrizes básicas:
Então, uma base para é:
A dimensão de é igual ao número de vetores na base, que é 2.

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem T(X) = 2x21 & 2x22 - 2x11 0 & -2x21 . A imagem de T(X) = x21 2 & 0 0 & -2 + x11 0 & -2 0 & 0 + x22 0 & 2 0 & 0 é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como 2 & 0 0 & -2 , 0 & -2 0 & 0 , 0 & 2 0 & 0 para algum em .
Observando a forma de que encontramos:
Podemos reescrever isso separando os termos:
Como , e são variáveis livres, notamos que a imagem é gerada pelas matrizes:
No entanto, a terceira matriz é apenas um múltiplo da segunda, então não adiciona nada novo à base.

Passo 8

Portanto, uma base para 2 & 0 0 & -2 , 0 & -2 0 & 0 é:
A dimensão de é 2, já que temos duas matrizes na base.

Resposta

A base de 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0 é:
2 & 0 0 & -2 , 0 & -2 0 & 0
Com dimensão igual a 2.
A base de é:
Com dimensão igual a 2.

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