Seja T: R^n R^m uma transformação linear.
(a) Suponha que u, v subset R^n é LI, mas T(u), T(v) é LD. Mostre que T(x)=0 tem uma solução não-trivial.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre T : se u1, ldots, vs é LI então T(u1), ldots, T(us) é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . Na parte (a), a gente sabe que dois vetores e são linearmente independentes em , mas quando aplicamos nesses vetores, e acabam sendo linearmente dependentes. A ideia aqui é mostrar que a equação tem uma solução não-trivial (ou seja, além da solução trivial ).
Já na parte (b), a afirmação diz que se um conjunto de vetores é linearmente independente, então após aplicar nesses vetores, o conjunto também será linearmente independente. Precisamos descobrir qual condição precisamos colocar para que isso seja verdade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Dois vetores e são linearmente independentes se a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial, ou seja, implica que e .
Agora, se aplicamos nesses vetores e obtemos e que são linearmente dependentes, isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero: , onde pelo menos um dos coeficientes ou é diferente de zero.

Passo 3

Já que é uma transformação linear, podemos usar a propriedade de linearidade: . Então, a equação implica que .
Como e não são ambos zero (porque e são dependentes linearmente), temos uma combinação não trivial de e que é mapeada para zero por . Ou seja, é uma solução não-trivial para .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A afirmação quer dizer que se temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes antes de aplicar , eles permanecem independentes depois de aplicar . Para que isso seja sempre verdade, precisamos que o único vetor que mapeia para zero seja o vetor zero em . Isso significa que precisa ser injetora (ou seja, \emph{injetividade}).
Em termos de teoria, uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo (espaço nulo) de contém apenas o vetor zero. Isso garante que nenhuma combinação não trivial de vetores em é mapeada para zero em , preservando a independência linear dos conjuntos de vetores após a aplicação de .

Resposta

(a) A equação tem uma solução não-trivial, que é , onde e não são ambos zero.
(b) A hipótese necessária é que a transformação linear seja injetora, ou seja, que o núcleo de contenha somente o vetor zero. Isso garante que conjuntos de vetores linearmente independentes permaneçam independentes após a aplicação de .

Exercícios relacionados

Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços N u(T) e Im(T) para a transformação linear T: R^2 times 2 R^2 times 2, definida por T(X)=M X-X M, em que
M=[ll 1 & 2 0 & 1 ]
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) 4 x y3 z times(-15 z8 x)-16 y^25 div(-12 y25);
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(b) 2a b+4b
Mostre que u+v é ortogonal a u-v se e somente se |u|=|v|. Interprete geometricamente.