Seja
uma transformação linear.
(a) Suponha que
é LI, mas
é LD. Mostre que
tem uma solução não-trivial.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
: se
é LI então
é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(a) Suponha que
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. Na parte (a), a gente sabe que dois vetores
e
são linearmente independentes em
, mas quando aplicamos
nesses vetores,
e
acabam sendo linearmente dependentes. A ideia aqui é mostrar que a equação
tem uma solução não-trivial (ou seja, além da solução trivial
).
Já na parte (b), a afirmação diz que se um conjunto de vetores
é linearmente independente, então após aplicar
nesses vetores, o conjunto
também será linearmente independente. Precisamos descobrir qual condição precisamos colocar para que isso seja verdade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Dois vetores
e
são linearmente independentes se a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial, ou seja,
implica que
e
.
Agora, se aplicamos
nesses vetores e obtemos
e
que são linearmente dependentes, isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero:
, onde pelo menos um dos coeficientes
ou
é diferente de zero.
Passo 3
Já que
é uma transformação linear, podemos usar a propriedade de linearidade:
. Então, a equação
implica que
.
Como
e
não são ambos zero (porque
e
são dependentes linearmente), temos uma combinação não trivial de
e
que é mapeada para zero por
. Ou seja,
é uma solução não-trivial para
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). A afirmação quer dizer que se temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes antes de aplicar
, eles permanecem independentes depois de aplicar
. Para que isso seja sempre verdade, precisamos que o único vetor que
mapeia para zero seja o vetor zero em
. Isso significa que
precisa ser injetora (ou seja, \emph{injetividade}).
Em termos de teoria, uma transformação linear
é injetora se e somente se o núcleo (espaço nulo) de
contém apenas o vetor zero. Isso garante que nenhuma combinação não trivial de vetores em
é mapeada para zero em
, preservando a independência linear dos conjuntos de vetores após a aplicação de
.
Resposta
(a) A equação
tem uma solução não-trivial, que é
, onde
e
não são ambos zero.
(b) A hipótese necessária é que a transformação linear
seja injetora, ou seja, que o núcleo de
contenha somente o vetor zero. Isso garante que conjuntos de vetores linearmente independentes permaneçam independentes após a aplicação de
.
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e
para a transformação linear
, definida por
, em que
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) ;
(e)
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(b)
(b)
Mostre que
é ortogonal a
se e somente se
. Interprete geometricamente.