Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema abaixo:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo é encontrar uma base para o conjunto solução desse sistema e determinar a dimensão desse conjunto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, sistemas lineares e operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita o manuseio das equações. O sistema é:
x + 2y - 2z - t = 0 2x + 4y + z + t = 0 x + 2y + 3z + 2t = 0
Podemos representar isso como uma matriz aumentada:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz e facilitar a resolução. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & 2 & -2 & -1 & | & 0 0 & 0 & 5 & 3 & | & 0 1 & 2 & 3 & 2 & | & 0 da segunda equação:
Passo 4
Em seguida, subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 2 & -2 & -1 & | & 0 0 & 0 & 5 & 3 & | & 0 0 & 0 & 5 & 3 & | & 0 da terceira equação:
Percebemos que a terceira linha é igual à segunda, então podemos eliminar uma delas:
Passo 5
Agora, nosso sistema simplificado fica:
x + 2y - 2z - t = 0 5z + 3t = 0
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar o 5z = -3t Rightarrow z = -35t :
Passo 6
Agora que sabemos que x + 2y - 2(-35t) - t = 0 x + 2y + 65t - t = 0 x + 2y + 15t = 0 x = -2y - 15t depende de , vamos expressar em termos de e . Substituímos na primeira equação:
Passo 7
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = -2y - 15t z = -35t y = y t = t e x y z t = y -2 1 0 0 + t -15 0 -35 1 :
Isso significa que o conjunto solução pode ser escrito como:
Resposta
Uma base para o conjunto solução é formada pelos vetores -2 1 0 0 e -15 0 -35 1 , e a dimensão desse conjunto solução é 2.