(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base e a dimensão do espaço vetorial
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar uma base para um subespaço definido por uma equação linear e determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Essa equação relaciona as quatro variáveis
e
. Nosso objetivo é expressar algumas variáveis em termos de outras para descrever todos os vetores que satisfazem essa condição.
Passo 3
Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Geralmente, escolhemos expressar uma variável em termos das outras que ficariam livres. Vamos isolar
:
Isso significa que
depende de
e
, então podemos escolher
e
como variáveis livres.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar os vetores no espaço
usando as variáveis livres
e
. Podemos escrever um vetor genérico
em
da seguinte forma:
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:
Passo 5
As coordenadas dos coeficientes das variáveis livres
e
nos vetores formam a base do espaço
. Portanto, a base de
é composta pelos vetores:
Passo 6
Para determinar a dimensão de
, contamos quantos vetores existem na base. Aqui, temos três vetores na base, o que significa que a dimensão de
é 3.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e a dimensão de
é 3.
Exercícios relacionados
Sendo
e
, calcular
e
.
Seja
um operador linear em um espaço vetorial
para o qual
. Mostre que:
Se , então
.
Se
Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se
é um produto interno sobre
, então o mesmo acontece com a função
definida por
.
Sabendo que
, calcular:
Resp: 5