(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(b) V=(x, y, z, w) in R^4: x-y+z-3 w=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base e a dimensão do espaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar uma base para um subespaço definido por uma equação linear e determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa equação relaciona as quatro variáveis e . Nosso objetivo é expressar algumas variáveis em termos de outras para descrever todos os vetores que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Geralmente, escolhemos expressar uma variável em termos das outras que ficariam livres. Vamos isolar x = y - z + 3w :
Isso significa que depende de e , então podemos escolher e como variáveis livres.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar os vetores no espaço (x, y, z, w) = (y - z + 3w, y, z, w) usando as variáveis livres (y - z + 3w, y, z, w) = y cdot (1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + w cdot (3, 0, 0, 1) e . Podemos escrever um vetor genérico em da seguinte forma:
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:

Passo 5

As coordenadas dos coeficientes das variáveis livres , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (3, 0, 0, 1) , e nos vetores formam a base do espaço . Portanto, a base de é composta pelos vetores:

Passo 6

Para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores existem na base. Aqui, temos três vetores na base, o que significa que a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e a dimensão de é 3.

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